全等三角形常见辅助线

全等三角形常见辅助线作法

知识结构图一.中点类辅助线作法见到中线中点）我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（如是a密C底边的中线）印 到 郅印 到 郅，角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形;.O'=匚3,这种对称的图形应用得也较为普遍.三.截长补短类辅助线作法三.截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.四..「型图（一线三等角），＜型图是最重要的几何模型之一，在证明三角形全等、相似，求点的坐标时有着重要的应用.（）如图，已知月尸，即_（2尸，AS_.BE,且8=的；则段.坦理，此=即，即.

(2及型图变化：将会由C向右移动会出现下面两种情况：①如图，已知，二二一二二，三三一三，三三,=匚丁，则一匚丝二.三，一二=三②如图，已知，二C一二二，三二一二二，"_，：三，.工=1三，则一£丝二三，二三=C5题模一中点类全等问题例、如图，已知在中，如是EC边上的中线，E是加上一点，延长BE交/C于产，加■=即，求证:.-<=二二•例、在RtA/田C中，区期C=90°,点口为EC的中点，点E、产分别为月月、上的点，且即—用.以线段3三、二二、一二二为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？例、八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧.【探究与发现】(1如图，是4 的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】(2填空：如图，是4的中线，若,，设，则的取值范围是 ^例、在△ 中，为边的中点，在三角形内部取一点，使得乙俘F=4!CF.过点作±于点，±于点.(1如图，当加=，C时，判断的与 的数量关系，直接写出你的结论；(2如图，当加壬/C,其它条件不变时，(1中的结论是否发生改变？请说明理由.题模二角平分线类全等问题例.1M驼中， 是的平分线，且且CD.若/助C=M0,则乙4的的大小为()、40° B、60°、80° D、100°例.如图所示，在△ 中，乙3C=3上C, 是/ 的平分线， ±于.求证：班=q|NC—85).例、已知乙比双=L2(T,平分/，点、分别在、上.(1)如图1,若4［况=乙仞［=缈，请你探索线段、、 之间的数量关系，并证明之；(2如图，若£4况-44DC=180:，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理题模三截长补短类全等问题例、如图所示，是边长为1的正三角形，是顶角为；年的等腰三角形，以3为顶点作一个60°的—二W,点】［、,.分别在「三、.二二上，求二，野的周长.例、(1)例、(1)如图，四边形例、 0初二上期中人民大学附属中学如图，△ 中，,是边上的高，如果C二三.-」-三二，我们就称△ 为“高和三角形”.请你依据这一定义回答问题：(1)若/蜃［C=M,4?=3肥，则4 "高和三角形”(填“是”或“不是”)；(2一般地，如果△ 是“高和三角形”，则上已与匕C之间的关系是 ,并证明你的结论中，AB=AC,/助C=W\/郎C=12¥,求证：PB-PC=PA.内一点，且一二一二二=二「，求证:（）如图，四边形中，AB=BC,ZABC=^°,为四边形三二-.二二-三•内一点，且一二一二二=二「，求证:题模四型图题模四型图例、如图，在等腰咫中，Z4CB=905,D为BC的中点交oC交口三的延长线于点/，连接CF•（1求证：AD-CF；（2连接，F，求证：AF=CF-、如图（1,已知正方形的上方作正方形例直线(1(2(3在直线的上方，在直线连接，求证：“心整必烟；连接C求证：/"犷=不二，并说明理由；当点在的延长线上时，如图（2,连接例±已知△ 中，/,试说明:若直线、如图（1,已知正方形的上方作正方形例直线(1(2(3在直线的上方，在直线连接，求证：“心整必烟；连接C求证：/"犷=不二，并说明理由；当点在的延长线上时，如图（2,连接例±已知△ 中，/,试说明:若直线点旋转到图（2位置时（＜上，是线段上一点，c则/网PV等于多少度？请说明理由.是过的一条直线），其余条件不变，问以为边在的异侧，的关系如何？请直接写出结果;（3若直线）,其余条件不变，问的关系如何？请直绕点旋转到图（3位置时（＞随堂练习xc 是是是是一小是me边上的中线，过c作一田的垂线，交qm于点三，交一口】于点尸，求证：一立d= .随练.如图，在△ 中，是4 的角平分线， , ，/ /,则的长为（）随练.如图所示，在AA?C中，加=匈2，延长45到4，使即=油，旧为/B的中点，连接C区、C□，求证：，二证：，二='_式随练、如图，在必耳随练、如图，在必耳C中，为边上的中点，.下二1，求的长.平分4HC交于,DF1/AE交 于，42=2,随练、 初二上期末怀柔区（）已知：如图，在△ 中，/ 90为中点，为上一点，为上一点， X，连接，求证：线段、、 总能构成一个直角三角形；（2已知：如图，/ 。，为中点，为上一点，为上一点， X,连接，请你找出随练、已知/平分/一个条件，使线段、、能构成一个等边三角形，给出证明.

随练、已知/平分/(用含a的三角函数表示).,,的数量关系,与的数量关系为;明).籥用图随练△请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题上截取上时，是三角形右外一点的平分线上，的数量关系，(1在图(2在图若不成立，(3在图点恰巧在/探究AB请直接写出为斜边中点(用含a的三角函数表示).,,的数量关系,与的数量关系为;明).籥用图随练△请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题上截取上时，是三角形右外一点的平分线上，的数量关系，(1在图(2在图若不成立，(3在图点恰巧在/探究AB请直接写出为斜边中点请说明理由；中：①/zOa( <a<随练.(1如图(2如图(3如图随练、如图，在△请根据题意补全图，并直接写出线段在 边」B连接①若点与点②如图，若点以=2,求的长并证明；求证： :0(1中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明如图，△中，.,若」助06『2若维已=时工3若血已二1明随练、在4中,且不)，在射线(1当点在线段重合，不与点重合，请证明的=尺口,是三角形外一点，且乙田。=60。，BD—DU=AB.求证：乙并给出证明.如图2在4 中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若、在直线的异侧，,直线于点，,直线于点，连接、N(1求证：P()若直线绕点旋转到图的位置时，点、在直线的同侧，其它条件不变，此时 还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；(3如图，/ =,旋转到与垂直的位置，为上一点且 A，于，连接，取中点，连接，N求证：X.随练、【问题情境】如图，在正方形 中，点是线段上的动点，XF 交正方形外角/ 的平分线于点.【探究展示】TOC\o"1-5"\h\z(1如图1若点是的中点，证明：/ / / .()如图，若点是的上的任意一点(、除外)，/ / / 是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】(3如图，若点是延长线(除外)上的任意一点，求证： ^随练、直线CD过乙*14的顶点C,CA=CS.£ 分别是直线切上两点，且/地C=/C用1=上工.(1若直线⑺经过1加4的内部，且耳、尸在射线切上，请解决下面两个问题：①如图，若口口/但期,则即 辟-留(填，‘，“<”或“=”)；②如图②，若口。SCA<180°，若使①中的结论任然成立，则与应满足的关系式 ；()如图，若直线⑵经过/ER4的外部，/*=/AM,请探究即与破、达F三条线段的数量关系，并给予证明.

拓展、已知:如图，在 中，平分/£祗？，8_且。于点，/DCS=/后，若1C=1Q，3=6，求的长.拓展、如图所示，ZS4(7=Z2?A5=P0\M是破的中点，AB=AC,血—求证儿怩_LCD拓展、如图，点M为正三角形皿的边冲所在直线上的任意一点(点H除外)，作直?MV=W,射线MV与ND助外角的平分线交于点N, 与KV有怎样的数量关系拓展、已知aDCE的顶点在乙£03的平分线上，交于，交于.(1如图，若CD_"t,CE_®,则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论： ；(2如图，若4项=12即，/DCE=40C,试判断线段与线段的数量关系并加以证明；()若,当ZBCE满足什么条件时，你在(2中得到的结论仍然成立，请直接写出ZDCE满足的条件.作直线!于，分别交直线、、于点、(作直线!于，分别交直线、、于点、(1当直线经过点时(如图2,证明：幽rCD；的平分线交于点，点为上一动点，过点(2当是中点时，写出和 之间的等量关系，并加以证明;(3请直接写出、、之间的等量关系.却 图2 却 图2 郅拓展、如图，在△ 中，加C=町,ZAC3=^,p分别在、上，并且、 分别是// 的角平分线.求证：(1BQ=CO; (2BQ-AO=A3+3P.拓展、已知，点是△斜边上一动点(不与、重合)，分别过、向直线作垂线，垂足分别为、、为斜边的中点.(1如图，当点与点重合时， 与的位置关系是,与 的数量关系是 ；(2如图，当点在线段上不与点重合时，试判断 与 的数量关系，并给予证明；(3如图，当点在线段(或)的延长线上时，此时(2中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.拓展、在△ ，/ 为锐角，AB>AC,平分/交于点拓展、在△ ，/ 为锐角，AB>AC,平分/交于点.(1如图，若^ 是等腰直角三角形，直接写出线段，， 之间的数量关系;(2 的垂直平分线交延长线于点，交于点.①如图，若/四E= ,判断，， 之间有怎样的数量关系并加以证明②如图，若/C-朋=再1，求/ 的度数.拓展、在平行四边形连接.(1如图，当与中，是上一点，期"WB,过点作直线，在上取一点，使得_三三=_三-二相交时，若_三必=;，求证：三二•二.-.W-EG(2如图，当与 相交时，若/期5=/0'口《如」，请你直接写出线段 、、 之间的数量关系(用含a的式子表示)；拓展、在口中，乙1=拓展、在口中，乙1=4%1，过点作3£=口产，且/即产=4即，连接之间的数量关系，并证明你的结(3如图3当与相交时，且加3=对，请你写出线段论.之间的数量关系，并证明你的结分别为的中点，连接.(1如图，若点在上，与交于点，试探究线段与线段 的数量关系及/ 与/满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2如图，若点在线段上，当点在何位置时，你在(1中得到的结论仍然成立，写出你确定的点的位置，并证明(1中的结论.拓展、如图①， 是/ 的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1如图②，在△ 中，/ 是直角，4=附，D 分别是/ 、/ 的平分线，、相交于点，请你判断并写出与之间的数量关系(不需证明)；(2如图③，在△ 中，4=眇，请问，在(1中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.拓展、如图①所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，分别以、为边向△ 外作正方形 和正方形，过点作±于点，过点作±于点.图①囹②图③(1如图②，当点恰好在直线上时(此时与重合)，试说明 ；()在图①中，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间的数量关系，并说明理由；(3如图③，当点在直线的下方时，请直接写出三条线段 、 、 之间的数量关系.(不需要证明)拓展、已知△中，为的中点，直线绕点旋转，过，，分别作，于点， ，于点，，于点.当直线经过点时，如图，可以得到=LcF.(1当直线不经过点，旋转到如图，图的位置时，线段，,，之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想.图，猜想：；图3猜想:

(2选择第(1问中任意一种猜想加以证明.拓展