2015年上海高考数学试卷理

2015年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷(理工农医类)一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分..设全集U=R，若集合A={l,2,3,4},B={%12<%<3),则AB=.广…，I n【答案】{l,4};【解析】根据题意，可得B={%I%>3或％<2},故A B={1,4}..若复数z满足3z+Z=1+，，其中i为虚数单位，则z=.【答案】1+1i；42【解析】设z=%+yi(%,yeR)，根据题意，有z=%-yi，可把3z+Z=1+i化简成%+3yi+%-yi=1+i，对于系数相等可得出%=Ly=1，/.z=1+1i.2 42.... (23c、 ,「％=33.若线性方程组的增广矩阵为 1、解为r3，则c-c=101cJ 〔y=5 12 【答案】16；【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组=16.22%+3y=c1把［%=3代入，可得c=21,c=5=16.20+y=cIy=5 1 2 1 ：24.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16<3，则a=.【答案】4；【解析】根据正三棱柱的体积计算公式V=h-S=ax—x^-axa=W3=16<3na=4.底2 2 4.抛物线y2=2p%(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.【答案】2；【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小,所以有|Q^I=1=p,np=2.min2.若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2兀，则其母线与轴的夹角的大小为.【答案】-；3【解析】设这个圆锥的母线长为初,底面半径为〃,母线与轴的夹角为0'所以S侧二;•/•万，而过轴的截面是一个三角形’故S是一个三角形’故S轴=>//'=2h,h=，也=4，sine」=正,「0」

r^3 h2 3=>//'=2h,h=.方程logGa-1-5)=logGa-i-2)+2的解为2 2【答案】2；【解析】由条件可得9^-1-5>039^-1-5>03、t—2>091—5=4(3--2)nQx-i)—4・3尤t+3=0,Qx—i—3)G-i—1)=03a-i=3,=>x=2,3x-i=1,=>%=1,所以％=1或％=2，检验后只有l=2符合；.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为.(结果用数值表示)【答案】120；【解析】这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4,男2、女3和男3、女4TOC\o"1-5"\h\z所以有C1C4+C2C3+=45+60+15=120.36 36 36.已知点夕和。的横坐标相同，户的纵坐标是。的纵坐标的2倍，夕和。的轨迹分别为双曲线。和C,1 2若。的渐近线方程为》=±氐，则C的渐近线方程为.1 2【答案】y=±—x；2【解析】设点夕和。的坐标为"y)、(％»),则有「二：。0° y=2y又因为C的渐近线方程为y=土石］,故设。的方程为3%2-尸=入，11/T把尸点坐标代入，可得3%2一4丫2=入，令九=0,=＞百x±2y=0即为曲线。的渐近线方程，即y=±—%；o0 2 2.设1(%)为/(%)=2x-2+=%g［o,2］的反函数，则丁=/(%)+ (%)的最大值为.【答案】4；【解析】通过分析，我们可得函数/(%)=2一+］在定义域［。,2］上是单调递增的，且值域为(,2,由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得

TOC\o"1-5"\h\zf-i(%)的定义域为-,2,值域为[0,2],又原函数与反函数的公共定义域为1,2,故4 4y=f(2)+f-i(2)=4.maxmax max1 1、10.在1+%+—的展开式中，％2项的系数为 .(结果用数值表示)I %2015J【答案】45；1 1Aio 1【解析】在1+%+—中要得到％2项的系数，肯定不能含有上项，I%2015) %2015故只有C0(1+%)。10'—'I%2015)=(1+%)0，而对于(1+%)10，%故只有C0(1+%)。10'—'I%2015)10.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元).若随机变量&和&分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则1 2E&-E&=.(元)1 2【答案】0.2；【解析】由题可知，C25=--,P怎=4.2)=-10 2 C25=--,P怎=4.2)=-10 2 C2=—,P怎=5.6)=—10 2 1025=10，吗=2.8)，若唉=1.4)=C2=1.4x0.4+2.8x0.3+4.2x0.2+5.6x0.1=2.8，即有E&-E&=0.2.1 2存在满足0<%<%<<%<6兀，且1f(%])-f(%2)+1f(%2)-f(%3)+f(%)-f(%)=12(mm-1>2,meN*)，则m的最小值为【答案】8；TOC\o"1-5"\h\z【解析】对任意的X,X,1/(X)-f(x)<f(x)-f(x)=2,ij i j max min欲使m取最小值，尽可能多的让x（i=1,2, ,m）取最值点，考虑至U0<x<x<<x<6兀,i 12 m\f(x)-f(x)+|f(x)-f(x)++f(x )-f(x)=12(m>2,mgN*),按照下图所示取值可以满足条件1 2 1 2 31 m-1 .2 ...所以m所以m的最小值为8;14.在锐角14.在锐角AABC中，tanA=-2D为BC边上的一点，AABD与AACD面积分别为2和4,过D作DE±AB于E,DF1AC于F，则于E,DF1AC于F，则DE•DF二【答案】-16;15【解析】由题可知，cosZEDF--cosA,SAABD=2AB^DE-2，SAACD-2ACDFI=4，SABC二21AB||AC|sinA-6，所以|DE|-七，|DF|-DE-DF-DE|•DFFcosZEDF--1 8-cosA-lABllAC8

AC32，cosA，化简可得84DE•DF---sinAcosA---sin2A-

3 342tanA1ABMc|1631+tan2A15每题只有一个正确选项，二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，选对得5分，否则一律得零分.每题只有一个正确选项，TOC\o"1-5"\h\z.设z,zgC，则“z,z中至少有一个数是虚数”是“z-z是虚数”的（ ）12 12 1 2A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B;【解析】充分性不成立，如z-1+i,z-2+i,z-z=-1不是虚数；1 2 12必要性成立，采用反证法，若z,z全不是虚数，即z,z均为实数，则z-z比为实数，所以z-z是虚数，12 12 1 2 1 2则z,z中至少有一个数是虚数.选择B.12.已知点A的坐标为（4<3,1）,将6A绕坐标原点0逆时针转-至OB，则B的纵坐标为（ ）3A.班B,运C.11D.132

【答案】D；【解析】以O为极点，％轴正半轴为极轴建立极坐标系，设A（p,e），则B[p,e+3，且I3）psine=1,pcose=4<3,B的纵坐标为：.(八兀psine+—I3TOC\o"1-5"\h\z=1psine+亘pcose=1+.(八兀psine+—I317.记方程①：％2+ax+1=0，方程②：x2+ax+2=0，方程③：x2+ax+4=0，其中a,a,a是正实数.1 2 3 1 2 3当a,a,a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）1 2 3A.方程①有实根，且②有实根 B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根 D.方程①无实根，且②无实根【答案】B；当a,a,a成等比数列时，a2=aa，

123 2 13【解析】方程③无实根，则A=a2-16<0，又A当a,a,a成等比数列时，a2=aa，

123 2 13由A<0得a由A<0得a2-16=

3 3a2一1a' 1-16<0，即a4<16a221TOC\o"1-5"\h\z当方程①有实根，且②无实根时，a2〉4，a2<8，可以推出a4<64<16x4<16a2，选择B.12 2 118.设P（x尸）是直线2x-y=—（neN*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限lim1二=（ ）nnn n+1 ix-1nA.-1B.-1 C.1 D.22【答案】A；【解析】采用极限思想求解当n-8时，直线2x-y=—n—（neN*）趋向于2x-y=1，直线与圆的交点趋向于P（1,1），lim工~-可以理n+1 n-8x—1n解为过点P（1,1）所作的圆的切线的斜率k，设切线方程为y-1=k（x-1），结合d=r，即4=1=v2，解k2+1之k=-1，即limy-n-=-1.x1n―8人n三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，在长方体中ABCD-ABCD，AA=1，AB=AD=2，E、F分别是棱AB、BC的中点，证明A、1111 1 1C、F、E四点共面，并求直线CD与平面ACFE所成角的大小.1 1 11TOC\o"1-5"\h\z【答案】arcsin ;15【解析】（1）由于E、F分别是棱AB、BC的中点，所以EF//AC,又AC//AC,所以EF//AC,由11 11公理三的推论，可知A、C、F、E四点共面.11（2）连接AF、AB由于CD//AB，所以直线CD与平面ACFE所成角的大小与AB与平面ACFE所成1 1 1 1 1 11 1 11d角的大小相等.设AB与平面ACFE所成角为6，点B到平面AEF的距离为d，则sin0=——，在三棱锥1 11 1 AB1A-EFB中，体积V=V，所以1 A—EFB B—A1EFTOC\o"1-5"\h\z1 1 ^ .AA 1 一1S.AA=1S -d，即d=晨FBAA1，结合题中的数据，可以计算出S=1，AF=AB=7，3NEFB 13AAiEF S AEFB2 1AAiEFAF=EF=22，AF=M，由此可以计算出S =呈，所以d=上3，1 1 AA1EF 2 3所以sin0=dL=15L，即0=arcsin也，所以直线CD与平面ACFE所成角的大小为arcsin虫5.本题亦AB15 15 1 11 151可采用空间向量解决，不再赘述.19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图，A、B、C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米，现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）.甲的路线是AB，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待，设t=t时，乙到达C地.1CTOC\o"1-5"\h\z（1）求t1与f（t1）的值； /、、\（2）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米.当11st/时， 、'、、求f（t）的表达式，并判断f（t）在1/,1］上的最大值是否超过3?说明理由.B1一 } 3 73 /、3J4T J25t2-42t+18,一<t<—【答案】（1）t=3，f（t）=341；（2）（t））=1 818；最大值不超过3.18 1 8 f（t）=（ 75—5t ，一<t<11 8【解析】3 15（1）由题中条件可知t=3小时，此时甲与A点距离为15千米，由余弦定理可知18 8

22-2X3X"X3-36985 64所以f(1)=3841；(2)易知，当t=7时乙到达B位置，所以8TOC\o"1-5"\h\z3 7 4①当3<t<7时，「f(t)2=(7-8t1+(5-5t1-2-(7-8t)-(5-51)•4=2512-421+18；8 8L1」 5- 3 772512-421+18，-<t<-②当7<t<1时，f(t)=5-5t；综合①②，f(t)=\ 8188 5-5t ,7<t<133<41533<415，8当3<t<包时，f(t)单调递减，此时函数的值域为8 25当3<t<7时，f(t)单调递增，此时函数的值域为3,525 8 L58当7<t<1时，f(t)单调递减，此时函数的值域为「0,5］；8 L8」由此，函数f(t)在%1］上的值域为卜缪;而(Wj<9，即等<3，所以f(t)在1,1］上的最大值没有超过3.121.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.TOC\o"1-5"\h\z已知椭圆％2+2y2=1，过原点的两条直线/和/分别与椭圆交于点A、B和C、D，记得到的平行四边形1 2ACBD的面积为S.(1)设A(%,y)，C(x,y)用A、C坐标表示点C到直线l的距离，并证明S=2|xy-xy|；(2)设l与1 1 2 2 1 12 21 1l的斜率之积为-1，求面积S的值.2 2【答案】(1)C到直线l的距离为""2-y2』；证明见解析；(2)S=V2；“2+y2【解析】(1)由题易知A、C两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况①当A、C两点的横坐标有一个为零时，不妨设%=0，x中0不失一般性，此时l与y轴重合，C到直线l2 1 1的距离为|%|，平行四边形ACBD的面积为S=2|xy|；2 21②当A、c两点的横坐标均不为0时，即(和12的斜率均存在时,设/的方程为y二k,其中k"亍‘由1y=k% 可得(2k2+1)x2-1=0，%2+2y2=1

4V2k2+1所以弦长|AB=v1+k2-A=VI+k2—2k—i-二2竹二2%2+y2

2y2+%1 1kx-yy%-y%点C到直线l的距离d= =4V2k2+1所以弦长|AB=v1+k2-A=VI+k2—2k—i-二2竹二2%2+y2

2y2+%1 1kx-yy%-y%点C到直线l的距离d= =12 211 \1+k2xx2+y21 1所以四边形ACBD的面积为S=|AB|-d=2\%y-%y\12 21综合①②点C到直线l的距离为1y1%2-y2%11 J%2+y2平行四边形ACBD的面积为2|%y-%y|12 21(2)易知两直线的斜率分别为：k=工，k=X，l1% l2%12由l1与l2的斜率之积为-2可得:%%=-2yy，又%2=1-2y2，%2=1-2y2，12 12 1 1 2 2所以%2%2=(-2yy1 2 12=1-2(y2+y2)+4y2y122，即21y12+y22=2,12 21 12 21 1221y2(1-2y2)+y2

2 11-2y2)+4yy2(1-2y2)+y2

2 11-2y2)+4y2y1 222.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知数列｛a｝与｛b｝满足a—a=2（b—b）,neN*.n n n+1n n+1n(1)若b=3n+5，且a=1,求｛a｝的通项公式;(1)n 1 n设｛a｝的第n设｛a｝的第n项是最大项，n 0即a>aCieN*)，求证:n0n｛b｝的第n项是最大项;n0设a=X<0,b=Q（neN*），求入的取值范围，使得｛a｝有最大值M与最小值m，1 n n且Me(—2,2).m【答案】（1）a=【答案】（1）a=6n—5（neN*）；（2）证明见解析；（3）n1A-2,0J；【解析】(1)由b=3n+5可得：a—a=2(b—b)=6(neN*)，又a=1，n n+1n n+1n 1所以数列｛a｝为以1为首项,n6为公差的等差数列，即有a=6n—5（neN*）；n(2)(2)由a—an+1 n=2(b—b),neN*可得:n+1a—a21a—a32a—a32=2(b—b)a—a=2(b—b )(n>2)TOC\o"1-5"\h\zn n—1 n n—1将上述式子累加可得a—a=2(b—b)(n>2)，当n=1时，也成立，所以a—a=2(b—b)(neN*)，由此可得Jan+b「2a1Jan+b「2a1最大，即｛”的由于b—1a为常数，所以当｛a｝的第n项是最大项时,1 21 n 0第n项是最大项;0结合a=兀b=kn可得

1n(3)有(2)可知a—a=2(b—b)(neN*)，即结合a=兀b=kn可得

1nn1 n1 nn1 1a=21n—入，分三种情况进行讨论：n①当入=—1时，则n为偶数时a=3，n为奇数时a=—1，即有M=3，m=—1，此时”=—3任（—2,2），由n n m此，此情况不符合条件；②当入e（-1,0）时，则n为偶数时，入n=（—D，由于入e（-1,0），所以—Xe（0,1），从而入n随着n增大值减小，此时入n〉0，Qn）=X2，无最小值（无限靠近0）；n为奇数时，入n<0，此时入n=—（—>），由于max入e（-1,0），所以4e（0,1），从而（-D随着n增大值减小，结合入n=—（—D，可知随着n增大入n值增大,

此时Q〃)=X，无最大值(无限靠近0)；由此可知数歹共。｝的最大值M=2入2-入，最小值m=2X-X=X,一； nmin［2九-1＜2M二至3二21,又M式-2,2),所以版-1＞-2，解之-1＜，＜0；m入 m -1＜九＜0 2③当入＜-1时，则n为偶数时，Q.=(-D，由于入＜-1，所以从式1,+Q，从而入"随着n增大值增大，此时Q＞0,Qn)=X2，无最大值(无限靠近+8)；n为奇数时，入n＜0，此时入〃=-(-＞＞，由于入＜-1，min所以-X＞1,从而(-D随着n增大值增大，结合入n=-(-1)n,可知随着n增大入n值减小，此时(Xn)=X,max无最小值(无限靠近-8)；由此可知，在入＜-1条件下，数列｛。｝无最值，显然不符合条件；n、 ,(1 、综上，符合条件的实数入的取值范围为-1,。.223.(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R的函数g(Q，若存在正常数T,使得cosg(Q是以T为周期的函数，则称g(Q为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知/(%)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R,设f(x)单调递增，f(0)=0,f(T)=4兀；. X一(1)验证h(x)=X+sing是以6兀为余弦周期的余弦周期函数；(2)设a＜b，证明对任意cg［f(a),f(b)］，存在x0g［a,b］,使得f(x0)=c；(3)证明："u为方程cosf(x)=1在［0,T］上的解”的充要条件是“u+T为方程cosf(x)=1在［T,2T］上的0 0解”，并证明对任意xg［0,T］都有f(x+T)=f(x)+f(T).【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析;【解析】(1)证明：cosh(x)=cosx+sin—【解析】(1)证明：cosh(x)=cosx+sin—cosh(x+6兀)=cosx+6兀+sin3J( .x)=cosx+6兀+sin—(.x\=cosx+sin—=cosh(x)x所以h(x)=x+sinx是以6兀为余弦周期的余弦周期函数;(2)当c=f(a)或者c=f(b)时，由于f(x)单调递增，所以存在x0=a或x