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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标是()A. B. C. D.2.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.若函数在时取得极值,则()A. B. C. D.4.在中,,,,若,则实数()A. B. C. D.5.已知为抛物线的焦点,点在上,若直线与的另一个交点为,则()A. B. C. D.6.已知的共轭复数是,且(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C. D.8.已知,函数,若函数恰有三个零点,则()A. B.C. D.9.已知集合,,,则()A. B. C. D.10.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月份C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元11.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.12.已知函数,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的系数为__________.14.已知,圆,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为________.15.若直线与直线交于点,则长度的最大值为____.16.某校初三年级共有名女生,为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况,统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线:.(1)当时,求与的交点的极坐标;(2)直线与曲线交于,两点,线段中点为,求的值.19.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明:.20.(12分)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(1)求函数f(x)的最大值m;(2)正数a,b,c满足a+2b+3c=m,求证:21.(12分)已知函数,设的最小值为m.(1)求m的值;(2)是否存在实数a,b,使得,?并说明理由.22.(10分)选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A=(k≠0)的一个特征向量为α=,A的逆矩阵A-1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得的坐标得出答案.【详解】解:,在复平面内对应的点的坐标是.故选:A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.2.A【解析】
可采用假设法进行讨论推理,即可得到结论.【详解】由题意,假设甲:我没有抓到是真的,乙:丙抓到了,则丙:丁抓到了是假的,丁:我没有抓到就是真的,与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的;假设甲:我没有抓到是假的,那么丁:我没有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以断定值班人是甲.故选:A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用,其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键,着重考查了推理与分析判断能力,属于基础题.3.D【解析】
对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【详解】因为,所以,又函数在时取得极值,所以,解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.4.D【解析】
将、用、表示,再代入中计算即可.【详解】由,知为的重心,所以,又,所以,,所以,.故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.5.C【解析】
求得点坐标,由此求得直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,求得点坐标,进而求得【详解】抛物线焦点为,令,,解得,不妨设,则直线的方程为,由,解得,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于基础题.6.D【解析】
设,整理得到方程组,解方程组即可解决问题.【详解】设,因为,所以,所以,解得:,所以复数在复平面内对应的点为,此点位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识,考查了方程思想,属于基础题.7.A【解析】
详解:由题意知,题干中所给的是榫头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的,即俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛:本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。8.C【解析】
当时,最多一个零点;当时,,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得.【详解】当时,,得;最多一个零点;当时,,,当,即时,,在,上递增,最多一个零点.不合题意;当,即时,令得,,函数递增,令得,,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,如图:且,解得,,.故选.【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.9.A【解析】
求得集合中函数的值域,由此求得,进而求得.【详解】由,得,所以,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法,考查集合补集、交集的概念和运算,属于基础题.10.D【解析】由图可知,收入最高值为万元,收入最低值为万元,其比是,故项正确;结余最高为月份,为,故项正确;至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同,故项正确;前个月的平均收入为万元,故项错误.综上,故选.11.D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.12.A【解析】
根据分段函数解析式,先求得的值,再求得的值.【详解】依题意,.故选:A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.3【解析】
分别用1和进行分类讨论即可【详解】当第一个因式取1时,第二个因式应取含的项,则对应系数为:;当第一个因式取时,第二个因式应取含的项,则对应系数为:;故的展开式中的系数为.故答案为:3【点睛】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解,属于基础题14.【解析】
由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,,代入,,则在直线上,即可得方程为,将,代入化简可得,则直线过定点,由则点在以为直径的圆上,则.即可求得.【详解】如图,由可知R为MN的中点,所以,,设,则切线PM的方程为,即,同理可得,因为PM,PN都过,所以,,所以在直线上,从而直线MN方程为,因为,所以,即直线MN方程为,所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上,所以.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.15.【解析】
根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:【点睛】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.16.【解析】
根据数据先求出,再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解:,.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为:.【点睛】本题主要考查频率分布直方图,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)或.(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)分类讨论解绝对值不等式得到答案.(Ⅱ)讨论和两种情况,得到函数单调性,得到只需,代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)当时,不等式为,变形为或或,解集为或.(Ⅱ)当时,,由此可知在单调递减,在单调递增,当时,同样得到在单调递减,在单调递增,所以,存在满足不等式,只需,即,解得.【点睛】本题考查了解绝对值不等式,不等式存在性问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.(1),;(2)【解析】
(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),再对分三种情况考虑;(2)利用直线参数方程参数的几何意义,求弦长即可得到答案.【详解】(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),当时,联立解得交点,当时,经检验满足两方程,(易漏解之处忽略的情况)当时,无交点;综上,曲线与直线的点极坐标为,,(2)把直线的参数方程代入曲线,得,可知,,所以.【点睛】本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.(Ⅰ),.(Ⅱ)见解析【解析】
(1)由,分和两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由题,得,利用等比数列求和公式,即可得到本题答案.【详解】(Ⅰ)解:由题,得当时,,得;当时,,整理,得.数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,,故.故得证.【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力.20.(1)(2)见解析【解析】
(1)利用绝对值三角不等式求得的最大值.(2)由(1)得.方法一,利用柯西不等式证得不等式成立;方法二,利用“的代换”的方法,结合基本不等式证得不等式成立.【详解】(1)由绝对值不等式性质得当且仅当即时等号成立,所以(2)由(1)得.法1:由柯西不等式得当且仅当时等号成立,即,所以.法2:由得,,当且仅当时“=”成立.【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式,考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式,属于中档题.21.(1)(2)不存在;详见解析【解析】
(1)将函数去绝对值化为分段函数的形式,从而可求得函数的最小值,进而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【详解】(1)
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