二次函数y=a(xh)的图象和性质

二次函数y=a(x-h)2

的图象和性质第26章26.1二次函数二次函数

形状和开口方向一样对称轴是y轴(直线x=0)顶点坐标是（0，k）26-24024-2-4xyy=ax2上下平移当k＞0时,抛物线y=ax2向上平移k个单位,得y=ax2+k当k＜0时,抛物线y=ax2向下平移个单位,得y=ax2+kk二次函数y=ax2与y=ax2+k●●●顶点（0,0)(0,k) 复习y＝ax2+ca>0a<0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减k>0k<0k<0k>0(0,k)cccc

说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标

(1)y=5x2

(2)y=-3x2+2(3)y=8x2+6(4)y=-x2-4向上，y轴（0,0)向下，y轴（0,2)向上，y轴（0,6)向下，y轴（0,-4)下面，我们探究二次函数y=a﹙x-h﹚2的图像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.探究x-4-3-2-10123

解:先列表描点

画出二次函数、的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10-2…0-0.5-2-0.5-4.5-2-0.50-4.5-2-0.5x=－1讨论抛物线与的开口方向、对称轴、顶点?(2)抛物线有什么关系?…4…

-4.5-4.5x=1

与抛物线12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10向左平移1个单位讨论向右平移1个单位即:

抛物线

、有什么关系？顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴即直线:x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位y=a(x-h)2(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下(h,0)(h,0)当x<h时，y随着x的增大而减小。当x>h时，y随着x的增大而增大。

当x<h时,y随着x的增大而增大。当x>h时，y随着x的增大而减小。

x=h时,y最小=0x=h时,y最大=0抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过左右平移得到.二次函数y=a(x-h)2的性质直线x=h直线x=h小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.

抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向

，对称轴是

，顶点坐标是

，抛物线是最

点，当x=

时，y有最

值，其值为

。抛物线与x轴交点坐标

，与y轴交点坐标

。向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2向上直线x=-3(-3,0)直线x=1直线x=3向下向下(1,0)(3,0)3、知识巩固顶点在y轴上y=ax2+k顶点在x轴上y=a(x－h)2如何平移：试一试例1.

填空题（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是

，开口

，对称轴是

，当x=

时，y有最

值，是

.（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y=-3x2

向

平移

个单位得到的；开口

，对称轴是

，当x=

时，y有最

值，是

.抛物线向上直线x=-5-5小0右4向下直线x=44大0（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数

的图像，其对称轴是

，顶点是

，当x

时，y随x的增大而增大；当x

时，y随x的增大而减小.（4）将二次函数y=-3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数

的图像，其顶点坐标是

，对称轴是

，当x=

时，y有最

值，是

.y=2（x-3）2直线x=3（3，0）＞3＜3y=-3（x+1）2（-1，0）直线x=-1-1大0试一试（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是

；将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是

；y=－3（x－4）2y=3（x+4）2（6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=-3（x-h）2的图象，则

a=

，h=

.若抛物线y=a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y=-3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB=

.-3-2144（7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数

的图象，在向

平移

个单位得到函数y=2（x-3）2的图象.y=2x2右3（8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数

的

图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向

，对称轴是

，顶点坐标是

，当x

时，y随x的增大而增大，当x=

时，y有最

值是

.

y=9（x－3）2上直线x=－2（－2，0）＞－2－2小02、二次函数图像的对称轴是（）（A）直线x=2（B）直线x=-2（C）y轴（D）x轴3、将抛物线向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为（）

A、B、

C、D、4、抛物线是由抛物线

向

平移

个单位得到的，平称后的抛物线对称轴是

，顶点坐标是

，当x=

时，y有最

值，其值是

。ADy=-X2右1直线x=1(1,0)1大0下列图像