2022年版高考数学二轮复习课时作业16

课时作业(十六)一、选择题1．(2021·全国高三模拟)某工厂有A，B两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周A，B两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为(A)A．0.95 B．0.6C．0.35 D．0.15【解析】由题可得至多有一套生产线需要维护的概率P＝0.2×0.75＋0.8×0.25＋0.75×0.8＝0.95.故选A．2．(2021·全国高三模拟)对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相间的小方块就已经出现了．二维码背后的趋势是整个世界的互联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从线下流向线上．如图是一个边长为2的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷200个点，其中落入黑色部分的有125个点，据此可估计黑色部分的面积为(B)A．eq\f(5,4) B．eq\f(5,2)C．eq\f(5,6) D．eq\f(1,2)【解析】据题设分析知，所求面积S＝2×2×eq\f(125,200)＝eq\f(5,2).故选B.3．(2021·江苏苏州市高三三模)设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则P(ξ<3)的值为(D)(参考数据：P(u-σ<ξ<u＋σ)＝0.6526，P(u-2σ<ξ<u＋2σ)＝0.9544)A．0.1737 B．0.3474C．0.6837 D．0.8263【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以μ＝1，σ2＝4，即σ＝2，所以P(ξ<3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(u-σ<ξ<u＋σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×0.6526＝0.8263，故选D.4．(2021·四川高三三模)在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是(D)A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(3,10)【解析】设A事件为第一次抽到理科试题，B事件为第二次抽到理科试题，所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10).故选D.5．(2020·四川省成都市期末)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则关于x，y方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by-8＝0,x2＋y2-4＝0))，有实数解的概率为(B)A．eq\f(2,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(7,36) D．eq\f(9,36)【解析】因为方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by-8＝0,x2＋y2-4＝0))有解，故直线ax＋by-8＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，所以eq\f(|8|,\r(a2＋b2))≤2即a2＋b2≥16，当a＝1时，b＝4，5，6，有3种情形；当a＝2时，b＝4，5，6，有3种情形；当a＝3时，b＝3，4，5，6，有4种情形；当a＝4，5，6时，b＝1，2，3，4，5，6，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(a，b)共有36种不同的情形，故所求的概率为eq\f(28,36)＝eq\f(7,9).故选B.6．(2021·浙江高三二模)设0<p<eq\f(2,3)，随机变量ξ的分布列是ξ-101Ppeq\f(1,3)eq\f(2,3)-p则当p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))内增大时(D)A．D(ξ)增大 B．D(ξ)减小C．D(ξ)先减小后增 D．D(ξ)先增大后减小【解析】E(ξ)＝-1×p＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-p))＝eq\f(2,3)-2p，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-2p＋1))eq\s\up12(2)×p＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-2p-0))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-2p-1))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-p))＝-4p2＋eq\f(8,3)p＋eq\f(2,9)＝-4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p-\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)，对称轴为p＝eq\f(1,3)，∵当p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))内增大时，∴D(ξ)先增大后减小，故选D.7．(2021·陕西高三模拟)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比应为3∶2.若在该“牟合方盖”内任取一点，此点取自正方体内切球内的概率为(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(π,4)C．eq\f(2,3) D．eq\f(π,6)【解析】设正方体的棱长为a，正方体体积为a3，“牟合方盖”的体积为eq\f(2,3)a3，而内切球的体积为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(πa3,6)，所以在该“牟合方盖”内任取一点，由内切球在“牟合方盖”内部，此点取自正方体内切球内的概率为eq\f(\f(πa3,6),\f(2,3)a3)＝eq\f(π,4)，故选B.8．(2021·浙江高三二模)已知正整数n≥4，p∈(0，1)，随机变量X的分布列是X1pp2…pn-2pn-1Ppp2p3…pn-1pn则当n在[4，100]内增大时(A)A．E(X)<1B．E(X)＝1C．E(X)>1D．E(X)与1没有确定的大小关系【解析】由条件可知p＋p2＋p3＋…＋pn＝eq\f(p（1-pn）,1-p)＝1，E(X)＝p＋p3＋p5＋…＋p2n-1＝eq\f(p（1-p2n）,1-p2)＝eq\f(p（1＋pn）（1-pn）,（1＋p）（1-p）)＝eq\f(1＋pn,1＋p)，∵p∈(0，1)，n∈[4，100]，∴eq\f(1＋pn,1＋p)<1，即E(X)<1.故选A．二、填空题9．(2021·上海黄浦区)已知随机事件A和B相互独立，若P(AB)＝0.36，P(A)＝0.6(A表示事件A的对立事件)，则P(B)＝__0.9__.【解析】由对立事件的概率公式可得P(A)＝1-P(A)＝0.6，由独立事件的概率乘法公式可得P(AB)＝P(A)P(B)，因此，P(B)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝0.9.10．(2021·江西省遂川中学高三月考)如图所示的圆盘的三条直径把图分成六部分，往圆盘内任投一飞镖(大小忽略不计)，则飞镖落到阴影部分内的概率为__eq\f(1,2)__.【解析】由题意，阴影部分为3个扇形，其面积正好占整个的一半，所以所求概率为eq\f(1,2).11．(2021·河北秦皇岛市高三二模)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝__0.5__.【解析】因为ξ～N(105，σ2)，且P(ξ<120)＝0.75，所以P(105≤ξ<120)＝0.25，所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.12．(2021·四川达州市高三二模)若ξ为离散型随机变量，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则其方差D(ξ)＝__eq\f(10,9)__.【解析】由题意，随机变量ξ为离散型随机变量，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，根据二项分布的方差的计算公式，可得D(ξ)＝5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))＝eq\f(10,9).三、解答题13．(2021·湖南高三月考)5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ＝x＋y.(1)求P(ξ＝4)；(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解析】(1)从盒中摸出球的基本事件总数为Ceq\o\al(2,5)＝10，ξ＝4的事件数有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(2,2)＝3，故P(ξ＝4)＝eq\f(3,10).(2)ξ的可能取值为2，3，4，5，所以P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，所以ξ的分布列为：ξ2345Peq\f(1,10)eq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(1,5)数学期望为E(ξ)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(2,5)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(1,5)＝3.6.14．(2021·九龙坡区重庆市育才中学高三二模)有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中(3个白球和2个黑球)轮流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏．(1)求先摸球者获胜的概率；(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球．每次游戏获胜得1分，失败得0分．记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望E(X)．【解析】(1)先摸球者获胜，则游戏进行3轮或5轮3轮：白黑黑：eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10)，黑白黑：eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10)，5轮：最后一球为黑球：eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(2,5)，所以先摸球者获胜的概率为eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).(2)X的所有可能取值为：0、1、2、3，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,125)，P(X＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(48,125)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(57,125)，P(X＝3)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(12,125)，分布列为：X0123Peq\f(8,125)eq\f(48,125)eq\f(57,125)eq\f(12,125)E(X)＝0×eq\f(8,125)＋1×eq\f(48,125)＋2×eq\f(57,125)＋3×eq\f(12,125)＝eq\f(198,125).15．(2021·山西高三三模)2021年是中国共产党百年华诞．中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育．这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，教育引导党员干部学党史、悟思想、办实事，开新局．为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望；(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝192.44.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？参考数据：eq\r(192.44)≈13.9，P(μ-σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，P(μ-2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ-3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.【解析】(1)100人中得分不低于80分的人数为(0.014＋0.006)×10×100＝20，随机变量ξ可能的取值为0，1，2.又P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,80),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(316,495)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(1,80),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(32,99)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,