偏微分方程课件

偏微分方程课件第一页，共五十一页，2022年，8月28日

数学物理方程指从物理学或其他各门自然科学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。

教学目的通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。2第二页，共五十一页，2022年，8月28日参考书目《数学物理方程》,王明新,清华大学出版社。《数学物理方程》，姜礼尚，高教出版社。《工程技术中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大学出版社。3第三页，共五十一页，2022年，8月28日一.偏微分方程（partialdifferentialequation)（PDE）的基本概念自变量未知函数偏微分方程的一般形式4第四页，共五十一页，2022年，8月28日PDE的阶：PDE的解

古典解广义解概念是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．5第五页，共五十一页，2022年，8月28日线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：常系数线性PDE:不然称为变系数的．齐次线性PDE:不然称为非齐次的．线性PDE的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分．主部6第六页，共五十一页，2022年，8月28日PDE中对最高阶导数是线性的。例如：半线性PDE：完全非线性PDE：PDE中对最高阶导数不是线性的。拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：非线性PDE7第七页，共五十一页，2022年，8月28日举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：8第八页，共五十一页，2022年，8月28日举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：9第九页，共五十一页，2022年，8月28日5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数的实部和虚部均满足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程举例（未知函数为二元函数）`10第十页，共五十一页，2022年，8月28日7.拟线性PDE8.拟线性PDE9.半线性PDE10.半线性PDE11.完全非线性PDE11第十一页，共五十一页，2022年，8月28日举例(多元函数)拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程12第十二页，共五十一页，2022年，8月28日二.定解问题的适定性定解问题PDE定解条件初值条件initialcondition边值条件boundarycondition初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题13第十三页，共五十一页，2022年，8月28日经典的定解问题举例1+1维波动方程(弦振动方程)的初值问题14第十四页，共五十一页，2022年，8月28日经典的定解问题举例热传导方程的初值问题15第十五页，共五十一页，2022年，8月28日经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）16第十六页，共五十一页，2022年，8月28日经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题17第十七页，共五十一页，2022年，8月28日何为适定性？存在性唯一性连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小．18第十八页，共五十一页，2022年，8月28日三.物理模型与定解问题的导出弦振动方程的导出19第十九页，共五十一页，2022年，8月28日弦振动方程与定解问题

一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。20第二十页，共五十一页，2022年，8月28日取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOUOUXPQL在时刻t，弦线在x点的位移为u(x,t)OUXPQ上图中PQ的放大图示21第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。根据Hooke定律，弦上各点的张力T的大小与时间t无关，只与x有关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力T的方向正是弦的切线方向。22第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日(*1)(*2)设为弦的线密度(单位长度的质量)，为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位长度的力)，根据牛顿第二定律，23第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日(*1)这表明张力的大小与x也无关，即常数(*2)，微分中值定理24第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日令，可得微分方程方程弦是均匀的，故为常数，记方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。25第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件或者(以及)边界条件已知端点的位移已知在端点受到垂直于弦的外力的作用已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合26第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日2+1维波动方程或膜振动方程一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在t时刻、膜在(x,y)

点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、为线密度27第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日3+1维波动方程或声波方程n+1维波动方程28第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日热传导方程热传导分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm=ρdx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)，则问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。由能量守恒定律cdmdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由热传导定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxx29第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日推广：情况：内部有热源(或侧面不绝热)分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt方程：cρut=kuxx+Fut=a2uxx+f，f=F/(cρ)30第三十页，共五十一页，2022年，8月28日稳定场方程产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。分类：无外界作用情况拉普拉斯方程：Δu=utt+uyy+uzz=0有外界作用情况泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F/k31第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日

在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中

为常数，且设四、数学物理方程的分类32第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日则当

时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.

下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为33第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日二阶线性PDE方程的分类两个自变量，齐次主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。非奇异（1）34第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日复合求导35第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日系数之间的关系（2）（1）（3）36第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日其他系数之间的关系（3*）37第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日考虑如若能找到两个相互独立的解那么就作变换从而有（4）38第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（4）（5）的一般积分。反之亦然。引理

由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。39第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日定义称常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程。称（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。（6）40第四十页，共五十一页，2022年，8月28日记定义方程(1)在点M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有41第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日双曲型PDE右端为两相异的实函数它们的一般积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型42第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日抛物型PDE由此得到一般积分为由此令，其中与独立(线性无关)的任意函数。43第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日由于由此推出44第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而45第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日椭圆型PDE右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为其中4