偏微分方程概论

偏微分方程概论第一页，共五十六页，2022年，8月28日1.1常微分方程简介1.1.1常微分方程的基本概念牛顿第二定律：其中：m是质量，r是位置向量，t是时间，

F是作用于质点的力第二页，共五十六页，2022年，8月28日牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r∕|r|是与r同向的单位向量第三页，共五十六页，2022年，8月28日这就是描述行星运动的微分方程——微分方程中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令

u=1∕r第四页，共五十六页，2022年，8月28日则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0,

q0是由初始条件确定的2个常数。第五页，共五十六页，2022年，8月28日1.1.2一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程具有如下形式：可转化为第六页，共五十六页，2022年，8月28日两边对x积分（如果可能的话）得

G(y)+C1=F(x)+C2即

G(y)=F(x)+C第七页，共五十六页，2022年，8月28日二、齐次方程具有如下形式作变量替换，令u=y∕x→y=u·x是可分离变量的方程第八页，共五十六页，2022年，8月28日三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）相应的齐次方程显然是个可分离的方程第九页，共五十六页，2022年，8月28日积分得通解

yh(x)=C·exp[-P(x)]其中：定义积分因子则

m(x)·yh(x)=C第十页，共五十六页，2022年，8月28日两边求导对于q(x)≠0

时m(x)·y(x)=C

不成立。但由上面的推导，可有第十一页，共五十六页，2022年，8月28日对上式积分得即有第十二页，共五十六页，2022年，8月28日伯努利方程作变换，令u=y1-n第十三页，共五十六页，2022年，8月28日n阶常系数线性微分方程其中，a0,…,an均为常数。先考虑齐次情形令y=elx

代入得第十四页，共五十六页，2022年，8月28日解这个方程得

l=l1,…,ln

若li≠lj

,i≠

j方程通解为若某个lj是h重根，则对应还有如下的h个解可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。第十五页，共五十六页，2022年，8月28日下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令dz∕dx=u第十六页，共五十六页，2022年，8月28日这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解

y=y0(x)则，原方程通解为第十七页，共五十六页，2022年，8月28日1.2偏微分方程的导出与定解1.2.1偏微分方程的概念未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。第十八页，共五十六页，2022年，8月28日但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。第十九页，共五十六页，2022年，8月28日1.2.2几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）——扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）其中a>0，a2=k∕Q，k是传热系数，Q是热容量。第二十页，共五十六页，2022年，8月28日拉普拉斯方程——调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日波动方程当声波在空气中传播时，如果u表示压强的小扰动，a>0是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日1.2.3初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题——柯西问题即：求波动方程的解u，使其满足初始条件u0(x,y,z)和u1(x,y,z),表示在t=0时波的形状和关于t的变化率。第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日一维情形——弦振动方程初始条件作变换

x=x-at,h=x+at方程变为第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日且通解为

u=f(x-at)+g(x+at)其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（d′Alembert）公式第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日高维情形，把(x，y，z)记

x=(x1,x2,x3),x=(x1,x2,x3

)利用傅立叶变换（Fourier）其中

xx=x1x1+x2x2+x3

x3第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日且当f满足一定条件时有Fourier逆变换另外有第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日对于下面方程，利用Fourier变换第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日变成解常微分方程的初值问题，解得其中做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日其中ds1（dsat）是球面|l|=1（|l|=at）的面积元素。第三十页，共五十六页，2022年，8月28日1.3热传导方程初值问题的求解两边关于x做Fourier变换第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日解常微分方程得若记且有从而第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日同理第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日代入得其中通常称K(x-x

,t-

t)为热传导方程基本解，且当f(x,t)≡0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日1.4二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：（波动方程）（热传导方程）（位势方程）第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日其中：f是(x1,…,xm)或(x1,…,xm,t)的函数，a为常数，是Laplace算子。二阶偏微分方程的一般形式：其中aij=aji、b、c、f

都是(x1,…,xm)的函数。第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,..,m对于波动方程，取m=n+1,t=xn+1第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日对于热传导方程，取m=n+1,t=xn+1第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日对于位势方程，取m=n第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵T

，使得TTAT是对角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的；热传导方程：A的特征值有一个为0，其它的都为正（或负）的，即A是非负（或非正）的；波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即A是不定的。第四十页，共五十六页，2022年，8月28日设x0(x01,...,x0m)是空间中一点，A(x0)表示矩阵A在x0点的值定义：若A(x0)的m个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它m-1个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的。如果对于区域W上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域W上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日定理：如果方程的二阶项系数aij

是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日1.4.2二阶偏微分方程的化简定义：称m维空间中的一张曲面S={j

(x1,…,xm)=0}为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一个点，有定义：对于固定点x0=(x10,…,xm0)

，如果过该点的方向l=(a1,…,am)

满足特征方程则称l为该点的特征方向。第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日由于表示曲面j(x1,…,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设∑ai2

=1即取ai为特征方向的方向余弦。第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日例：热传导方程的特征方程为a12

+

a22

+a32

=0由假设有a02

+

a12

+

a22

+a32

=1从而a02

=1因此特征曲面为超平面t=

常数第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为

a11a12

+2a12a1a2+a22a22=0满足上述关系的方向(a1,a2)为特征方向，其特征线

j(x,y)=0第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日满足

a11jx2+2a12jx

jy+a22jy2=0*求解这个方程。对j(x,y)=0微分并代入上式

jxdx+jydy=0→jx=-jydy∕dx

a11dy2-2a12dxdy

+a22dx2=0**偏微化为常微，求出**的一族积分曲线j1(x,y)=C则，z=j1(x,y)是*方程的解。第四十七页，共五十六页，2022年，8月28日求**的积分曲线，将它分解为两个方程此时在(x0,y0)的近旁有三种情况，记△﹥0△=a122-a11a22△=0△﹤0第四十八页，共五十六页，2022年，8月28日即，在(x0,y0)近旁△﹥0

此时**有两族不同的实积分曲线j(x,y)=C和y(x,y)=C引入自变量

x=j(x,y),h=y(x,y)***由*可看出-jx

∕jy、-yx

∕yy是二次方程

a11l2

+2a12l+a22=0两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。第四十九页，共五十六页，2022年，8月28日由于ux=uxxx+uhhxuy=uxxy+uhhyuxx=uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy=uxxxxxy+uxh(xxhy+xyhx)+uhhhxhy

+uxxxy+uhhxyuyy=uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化为

b11uxx+2b12uxh+b22uhh+c1ux