光电信息物理基础

光电信息物理基础第一页，共六十二页，2022年，8月28日信息传输（通讯与通信）：类似人的神经系统，负责；信息传送，属于通讯领域。通讯：有线（电缆），无线（电磁波），有线光通讯，无线光通讯信息处理（计算机技术）类似人的大脑系统，负责对信息的综合处理，由计算机处理。2）如何产生信息、如何传输信息、如何采集信息、如何处理信息均要深刻理解其物理原理和本质，其主要涉及的内容？2.为什么学习信息物理基础？3.怎么学习信息物理基础？科学与技术理论与实践第二页，共六十二页，2022年，8月28日第1章数学基础

§1.1矢量代数和矢量函数1.矢量

需用量值表示其大小，又需要指明方向的量，叫矢量，例如力、速度、加速度、动量、角动量等都是矢量。

需用数值和单位(合称量值)表示其大小的量，叫标量，如长度、时间、质量、温度、能量等都是标量

用带箭头的字母(例如、等)或黑斜体字母(如A、D等)表示矢量。矢量的大小又称矢量的模，并用，表示。第三页，共六十二页，2022年，8月28日2.矢量加减运算

加法服从交换律服从结合律

第四页，共六十二页，2022年，8月28日3单位矢量和分矢量:大小为1的矢量

坐标轴方向的单位矢量

单位矢量表示为。

常矢和变矢大小和方向都保持不变的矢量称

任一矢量可以分解为几个矢量，它们的和就是这个矢量。特别是可以分解为沿坐标轴的互相垂直的分量

第五页，共六十二页，2022年，8月28日其中是矢量和矢量的夹角。若将矢量和矢量用直角坐标系方法表示，则有

标量积满足交换律和结合律4两矢量的标量积第六页，共六十二页，2022年，8月28日它的大小等于

不服从交换律，但满足结合律直角坐标系方法表示，则有

其方向垂直于两矢量所决定的平面，并且满足右手螺旋定则

5两矢量的矢量积第七页，共六十二页，2022年，8月28日有三种形式

所谓三重标量积

它表示要先求矢量积，然后求标量积，其结果为一个标量，即为平行六面体的体积

6三矢量相乘第八页，共六十二页，2022年，8月28日§1.2场、梯度、散度和旋度

1.场的摡念 如果在全部空间或部分空间里的每一个点,都对应着某个物理量的一个确定的值,就说在这个空间里确定了该物理量的一个场。场分类(1)标量场(2)矢量场(1)稳定场(2)不稳定场温度场电势场电场磁场第九页，共六十二页，2022年，8月28日只有确定数值的标量可以是空间坐标（如直角坐标系中的x、y、z）和时间t的函数，我们称为标量函数。有确定方向的物理量的矢量，一般都是一个或几个（标量）变量的函数，称为矢量函数一个矢量函数对应三个标量函数

标量函数与矢量函数

第十页，共六十二页，2022年，8月28日的物理状态与时间无关

矢量和矢量场的不变特性

矢量函数对时间和空间坐标变量的微分，仍然是个矢量

静态场动态场静态场动态场或时变场第十一页，共六十二页，2022年，8月28日为了形象地描述矢量场在空间的分布状态，引入矢量线概念。矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方向。矢量场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过。所以矢量线充满了整个矢量所在空间。

任一点的切向长度元与该点矢量场的方向平行

电力线、磁力线就是电场和磁场中的矢量线

矢量线第十二页，共六十二页，2022年，8月28日直角坐标系中：

=0这就是矢量线的微分方程，求得它的通解可绘出矢量线。

第十三页，共六十二页，2022年，8月28日标量场中，分布于各点的物理量是其空间坐标的单值函数，即：2.标量场的方向导数和梯度定义:设为标量场u中的一点,从点出发引一条射线L,在点的邻近取一点,记若当时,的极限存在,则称此极限为函数在处沿方向L的方向导数标量场方向导数第十四页，共六十二页，2022年，8月28日其中:有两种函数u沿直线的方向导数函数u沿曲线的方向导数方向导数实质:函数U(m)在给定点处沿某个方向的变化率，可见标量场在此点沿不同的方向具有不同的方向导数。方向导数计算为该点的偏导数为L方向的方向余弦第十五页，共六十二页，2022年，8月28日定义:若在标量场u中一点M处，存在一个矢量,且满足如下两个条件：方向:为u在M点变化率最大方向；模:为u在M点最大变化率的数值,则称为标量场u在M点处的梯度.梯度在直角坐标系中表达式引进矢量微分算子则梯度为：标量场梯度gradU（矢量）第十六页，共六十二页，2022年，8月28日梯度运算基本公式C为常量第十七页，共六十二页，2022年，8月28日1）面积矢量定义定义：面积矢量是大小等于该面元的面积，方向和该面元的外法线方向一致。面积矢量直角坐标系下的表达式：面积矢量直角坐标系下的表达式证明过程：3矢量场的通量和散度第十八页，共六十二页，2022年，8月28日矢量A沿任一有向曲面S的面积分,叫做矢量场穿过曲面S的通量通量在直角坐标系中表示法：2）通量定义、表达式、证明过程矢量A在闭合曲面S的通量通量在直角坐标系中表示法的证明过程：第十九页，共六十二页，2022年，8月28日3）封闭曲面通量的物理意义封闭曲面内有源封闭曲面内有负源封闭曲面内无源封闭曲面通量的缺点：是一个整体的描述，不能描述内部源的分布情况，如何描述内部的分布？第二十页，共六十二页，2022年，8月28日高斯公式：高斯公式作用：封闭曲面积分转换为体积分散度直角坐标系表示法:表示法证明：定义：设有矢量场A,于场中任一点m的某个邻域内作一包含点m在内的任一闭曲面△s,设其包围的空间区域为△Ω,以△v表示其体积，以△Ψ表示从其內部穿出S的通量,若当△Ω以任意方式缩向m点时,比式的极限存在,则称此极限为矢量场在m点处的散度,记为:4）散度定义(divA)（标量）、表达式、证明过程第二十一页，共六十二页，2022年，8月28日7）散度实质：表示矢量场中某一点的通量对体积的变化率，即通量体密度，表示该点作为场源的强度5）散度矢量微分算子表示法:第二十二页，共六十二页，2022年，8月28日8）散度运算基本公式第二十三页，共六十二页，2022年，8月28日高斯散度定理任一矢量场的散度的体积分等于该矢量场穿过该限定体积的闭合面的总通量。第二十四页，共六十二页，2022年，8月28日1）环量定义4矢量场的环量、环量面密度和旋度定义：设有矢量场A,则沿场中任一有向封闭曲线L的曲线积分,叫做此矢量A沿L曲线的环量。L表达方法：2）环量直角坐标系中表示方法第二十五页，共六十二页，2022年，8月28日3）环量直角坐标系表示方法证明：为L的切向矢量n的方向余弦4）环量的物理意义是一个整体的描述，不能描述内部源的分布情况，如何描述内部的分布？第二十六页，共六十二页，2022年，8月28日5）环量面密度定义定义:取矢量场中一点xo,在该点取定方向n，并过该点作一微小曲面，其方向为n，取△L的方向为△

S按右手螺旋定则，其矢量场环量与面积△

S

的比值。6）直角坐标系环量面密度计算公式X0n△

S

的方向余旋第二十七页，共六十二页，2022年，8月28日8）环量面密度行列式表示7）直角坐标系环量面密度计算公式的证明过程斯特克斯公式中值定理第二十八页，共六十二页，2022年，8月28日若矢量场A中一点M处存在一个矢量,且该矢量满足：1.方向：为此点环量面密度最大方向;2.大小:等于此点最大环量面密度值,则该矢量称为矢量场M点的旋度。10)旋度(rotA)11）旋度直角坐标系表示法9）环量面密度的物理意义：虽能够描述各场点的源强度，但必须指定一个方向，方向导数一样，如何办？第二十九页，共六十二页，2022年，8月28日12)旋度矢量微分算子表示法:旋度在任一方向上投影等于该方向的环量面密度13)旋度和环量面密度：14)旋度运算基本公式第三十页，共六十二页，2022年，8月28日斯托克斯定理数学描述矢量场旋度的面积分，等于该矢量沿包围此曲面的闭合路径的线积分。它同散度定理一样，是场论中的重要定理

第三十一页，共六十二页，2022年，8月28日5亥姆霍兹定理

（1）两个零恒等式亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结说明

恒等式I的逆定理也成立，即：如果一个矢量的旋度为零，则该矢量可以表示为一个标量场的梯度。物理意义：任何标量场的梯度的旋度恒等于零

第三十二页，共六十二页，2022年，8月28日将逆定理应用于电磁场理论中，可以引入辅助位函数

式中负号表明矢量沿减小的方向

可引入标量电位函数

例子：静电场无旋场定义

矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零。

无旋场不可能存在旋涡源

第三十三页，共六十二页，2022年，8月28日无旋场特点：同时也是位场、保守场

图1.2.2位场的线积分

P1P2C1C2证明：由斯托克斯定理第三十四页，共六十二页，2022年，8月28日恒等式Ⅱ与无散场恒等式Ⅱ的逆定理是：如果一个矢量场的散度为零，则它可表示为另一个矢量的旋度。物理意义：任何矢量场旋度的散度恒等于零。

例如恒定磁场，因，可引入矢量磁位，令

该定理应用于电磁场研究中，可引入辅助矢量位（即矢势），有利于场矢量的求解。

第三十五页，共六十二页，2022年，8月28日无散场穿过任何闭合曲面的通量都等于零，即：

如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，即，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无散场，或无源场

无散场定义：无散场特点：第三十六页，共六十二页，2022年，8月28日例

已知

(1)如果是无旋的，试确定常数；

(2)将代入，判断F能否表示为一个矢量的旋度解(1)因为

第三十七页，共六十二页，2022年，8月28日c1=0，c2=3，c3=2。

(2)只有当，才可使因此计算可见不能表示为一个矢量的旋度，本题中属有源无旋场。第三十八页，共六十二页，2022年，8月28日亥姆霍兹定理可以证明，在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域V的闭合曲面S上的矢量场的分布）唯一的确定，这就是亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理的理解亥姆霍兹定理的数学理解亥姆霍兹定理的物理理解无旋场的散度不恒等于零

第三十九页，共六十二页，2022年，8月28日总结：2矢量场描述1）矢量线1）矢量线2）环量：描述横场场源3）环量面密度4）旋度rotA：描述横场场源强度

横场（静磁场强度为例）

横场处处散度为零，无散场纵场处处旋度为零，无旋场1标量场描述（温度场为例）1）等值面（等值线）2）方向导数3）梯度纵场（静电场强度为例）2）通量：描述纵场场源3）通量体密度散度divA：描述纵场场源强度

第四十页，共六十二页，2022年，8月28日§1.3哈密顿算子▽1哈密顿算子▽

3哈密顿算子常见公式2拉普拉斯算子▽2

在运算中具有矢性和微分双重特性2周第四十一页，共六十二页，2022年，8月28日第四十二页，共六十二页，2022年，8月28日第四十三页，共六十二页，2022年，8月28日算符性质证明例子1：证：微分性质：矢量性质：第四十四页，共六十二页，2022年，8月28日算符性质证明例子2：

：证：微分性质：矢量性质：第四十五页，共六十二页，2022年，8月28日XZYrr‘R第四十六页，共六十二页，2022年，8月28日第四十七页，共六十二页，2022年，8月28日高斯公式斯特克斯公式格林公式第四十八页，共六十二页，2022年，8月28日例题：计算下列各式的值，其中为常矢量,求：解：(1)(2)第四十九页，共六十二页，2022年，8月28日求，其中为常矢量。

而

解：

第五十页，共六十二页，2022年，8月28日

§1.4正交曲线坐标系

1曲线坐标：空间每个点的位置也可由在此相交的三个曲面的标识值唯一