偏微分方程的数值离散方法

偏微分方程的数值离散方法第一页，共五十二页，2022年，8月28日13.1有限差分法

3.1.1模型方程的差分逼近3.1.2差分格式的构造3.1.3差分方程的修正方程3.1.4差分方法的理论基础3.1.5守恒型差分格式3.1.6偏微分方程的全离散方法第二页，共五十二页，2022年，8月28日23.1.1模型方程的差分逼近第三页，共五十二页，2022年，8月28日33.1.2差分格式的构造第四页，共五十二页，2022年，8月28日43.1.3差分方程的修正方程差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程

对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。Warming-Hyett方法：差分方程(2)写成算子的形式：第五页，共五十二页，2022年，8月28日53.1.3差分方程的修正方程(续)第六页，共五十二页，2022年，8月28日63.1.3差分方程的修正方程(续)第七页，共五十二页，2022年，8月28日73.1.4差分方法的理论基础相容性，稳定性，收敛性等价性定理Fourier稳定性分析第八页，共五十二页，2022年，8月28日83.1.4差分方法的理论基础（续）Fourier(VonNeumann)稳定性分析第九页，共五十二页，2022年，8月28日93.1.4差分方法的理论基础（续）Fourier(VonNeumann)稳定性分（续）称为CFL条件(Courant,Friedrichs,Levy)第十页，共五十二页，2022年，8月28日103.1.5守恒型差分格式流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：定义第十一页，共五十二页，2022年，8月28日113.1.5守恒型差分格式（续）守恒性质：非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。第十二页，共五十二页，2022年，8月28日123.1.5守恒型差分格式（续）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。

用途:(加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式

第十三页，共五十二页，2022年，8月28日133.1.6偏微分方程的全离散方法对差分格式的一般要求：有精度、格式稳定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)主要指非定常方程的时间离散

第十四页，共五十二页，2022年，8月28日14偏微分方程的全离散方法(续）两层格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式Runge-Kutta方法时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多层格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式第十五页，共五十二页，2022年，8月28日153.1.6.1两层格式Crank-Nicolson格式Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff格式MacCormack格式Runge-Kutta方法第十六页，共五十二页，2022年，8月28日163.1.6.1两层格式(cont.）Lax-Wendroff格式一步LW格式第十七页，共五十二页，2022年，8月28日173.1.6.1两层格式(cont.）Lax-Wendroff格式两步LW格式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。第十八页，共五十二页，2022年，8月28日183.1.6.1两层格式(cont.）MacCormack格式(1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。第十九页，共五十二页，2022年，8月28日19MacCormack格式的构造第二十页，共五十二页，2022年，8月28日203.1.6.2三层格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日21第二课后阅读提示傅德薰《计算流体力学》，3.1–3.3水鸿寿《一维流体力学数值方法》3.1《ComputationalMethodsforFluidDynamics》,FerzigerandPeric,SpringerChap.6第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日22作业21.用Fourier法分析节中Crank-Nicolson格式的稳定性。2.分析前面节中MacCormack格式是几阶精度。第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日233.2有限体积法出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）以控制体为离散量计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式(quadratureformula)适用于任意形状的网格，复杂几何形状缺点：难以构造大于二阶以上的格式第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日243.2.1定常守恒型方程和控制体第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日253.2.2面积分的逼近面积分用积分点的值表示(quadrature)积分点的值用CV的值表示(interpolation)对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日263.2.4体积分的逼近当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日273.2.4体积分的逼近四阶精度：2D直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日283.2.5插值和微分积分点的函数值和其法向梯度1stUDS:取上风点的值第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日29插值2ndorder:向积分点线性插值等价于中心差分(CDS)第三十页，共五十二页，2022年，8月28日30插值当积分点的函数是线性插值时Secondorder第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日31插值QUICK(quadraticupwindinterpolationforconvectivekinematics)插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日32插值高精度：N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。界面上导数可以用插值公式的微分求出。第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日33有限体积法的边界条件用边界条件替代面积分入口：通常给定对流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和对称面：通量为零边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日34FV例子第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日353.2.6守恒律的有限体积方法

Godunov格式第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日36第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日373.2.6.1Godunov方法的思想第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日38一阶迎风格式(CIR格式)第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日39用Godunov思想

说明CIR格式=Godunov格式第四十页，共五十二页，2022年，8月28日40第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日41Riemann解图示第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日42第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日433.2.6.11DEuler方程组的Godunov格式Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日44移动网格上的积分回路第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日45移动网格上的Godunov格式第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日46固定网格上的Godunov格式第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日47Lagrang