第四节不等式与方程

ProfessionalCourse第四节方程与不等式式的概念，一元二次方程、一元三次方程的解法及根与系数的关系等，并能进行熟练的运算。本节内容在考试中大多以选择题、（一）定

ax2bxc0a0x

，则x x c1

解法：x

b2b2

(b24ac0当b24ac0当b24ac0时，一元二次方程有两相等实根。当b24ac0xm2 的形式；如果n 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n0

x2

) 定义：30，这样的方程叫一元三次方程，一般形式为ax3bx2cxd0a0，设其根为,,则++b,c, 设Q(x)

pxq，且

3（1）证明是Q(x)0的根（2）写出以33

3

（1）证明是Q(x)0的根（1）要证()3p(q033()(22)()[()23]()[()2pq整理得()3p(q0写出以33为根的一元二次方程p3p 0ax3bx2cxd=0(ax xxxxx 1 2 1 xx q p

27a2d9abc( (

p

,q23 23<0时，一元三次方程有三个不相等的实根=0时，一元三次方程有三实根，其中有一个二重根>0时，一元三次方程有一个实根和一对共轭复根【2012 设x,x,x为多项式x39x26x 5的三个根，则x2x2x2等于

【2012 设x,x,x为多项式x39x26x 5的三个根，则x2x2x2等于

x

xb,xxxxxxc

1 2 1 dxxx

,那么x2

2x

xxx)22(xxxxxx33

1 2 1 考点2：不等（一）不等式的解分式不等式f(x)0f(x)g(x) f(x)0f(x)g(x)g(x)

g(x) g(x) g(x) f(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)g(x)f(x)f(x) aa>0）f(x)f(x)

aa>0）f(x)f(f(x)f(x) f(x)

f(x)f(x)g(x) gf(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x) f(x)

f(xg(x) g(xf(x

, 0fff(x)

2(x

0

f(x)g(x)

g(x)f(x

g(x)f(x)gx)gx)0fx)gxfx)gxgx)0且fx),gx不同时为指数不等afafaf

ag(x)(a1)f(x)ag(x)(0a1)f(x)对数不等式

f(x) f(x)logg(x)(a1) g(x) f(x) f(x) f(x) g(x)(0a1) g(x) f(x) x 【例1】不等式组3 A、x|0xB、x|0xC、x|0x D、x|0x

2

的解集是 3x 3 x33x

22xx0 a,b∈Ra,b∈（0，+∞ababab2

a+bc3abc(abcRa=b=c3不等式常用的证明方比较法是指可以利用作差法或者作商法来比较一下两个式子的小；综合法：利用已知条件或者已证明过的不等式，推出结论；分析法从要求证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件，转化为求证充分条；反证法：假设结论不成立，只要能够推导出与已知条件 即可3A、B、C为某三角形的三个内角，证明sinAsinBsinC32【解析】证明ABC为三角形三个内ABC 根据Jensen不等式3sinAsinBsinCsinABCsin3 3即sinAsinBsinC 32不等式（琴生不等式【练习2