其他-4第一章4第四节条件概率

第四节条件概率一、条件概率的定义

直观上，用来表示在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小的数，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为P(B|A).例设有100件的某一批产品，其中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品。现任意在100件产品中抽取一件，求

1）抽得的是废品的概率；

2）已知抽得的是不合格品,它是废品的概率。解：令A表示“抽得的是废品”这一事件，B表示“抽得的是不合格品”这一事件按古典概率计算易得：由此看到P（A）≠P（A|B）本例中条件概率P（A|B）是根据条件概率的直观意义计算出来的，但一般地，条件概率如何定义呢？

通过简单的运算得：

这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.上述关系具有普遍意义：(1)从古典概率看：(2)从频率的稳定性上看：设实验E做了n次，令：nA,nB,nAB分别表示事件A,B及AB在n次试验中发生的次数，那么nAB/nB表示在B发生的那些结果中，A又出现的频率，即：已知B发生的条件下，A发生的条件频率fn(A|B)。

如果n足够大，

fn(AB)接近P(AB),fn(B)接近P(B),则nAB/nB接近P(A|B),因此，在统计概率中上式亦成立。

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有公式.(3)从直观上看：1．定义:

设A，B是两事件，且P(B)>0，称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.注

（1）若P(A)>0，同样可定义（2）条件概率P（•|B）满足概率定义的三条公理，即

1.对于每一事件A，有1≥P（A/B）≥0;

2.P（|B）=1

3.设A1，A2……两两不相容，则有

P（Φ|B）=0P（A|B）=1−P（A|B）

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)等等概率所证明的重要结果都适用于条件概率，例如：(3)P（A）与条件概率P（A|B）的关系：

P(A)>P(A|B)，P(A)<P(A|B),P(A)=P(A|B)这三种关系都有可能成立。后一种情况就是以后讨论的独立性。2．计算

一般有两种方法：

(1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A)

（在原样本空间中求P(AB)、P(A)）

(2)按古典概型公式：P(B|A)=NAB/NA

（在压缩后的样本空间中考虑）

例1：100件产品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件废品。在100件中任意抽一件。

求（1）抽得是废品B的概率;

（2）已知抽得的是不合格品A，它是废品

的概率P(B|A)。条件概率P(A|B)与P(A)的区别

每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.例设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).例2

一次掷10颗色子，已知至少出现了一个1点，求至少出现两个1点的概率。由古典概型：于是所求概率为解设A:掷10颗色子，至少出现一个1点，

B:掷10颗色子，至少出现两个1点，则AB.恰出现一个一点1.乘法公式

由条件概率定义，若P(B)>0，则P(AB)=P(A|B)P(B)

若P(A)>0,则P(AB)=P(B|A)P(A)

上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)>0，则

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

这里，注意到由假设P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，则有:P(A1A2…An)=

P(A1)•P(A2|A1)…

•P(An-1|A1A2…An-2)•P(An|A1A2…An-1)二、关于条件概率的三个定理例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第一、二次取得白球且第三次才取得黑球的概率。解：设Ai表示第i次取到黑球在利用条件概率求无条件P时，条件P往往用古典概型计算。例2.设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率。

解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。

因为B=Ā1Ā2Ā3

，故有

P(B)=P(Ā1Ā2Ā3)=P(Ā1)P(Ā2|Ā1)P(Ā3|Ā1Ā2)

=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200

法二，按题意B=A1∪Ā1A2∪Ā1Ā2A3

而A1，Ā1A2，Ā1Ā2A3

是两两互不相容的事件，故有P(B)=P(A1)+P(Ā1A2)+P(Ā1Ā2A3)

一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”

解:设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出

当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)

监狱看守通知三个囚犯,在他们中要随机地选出一个处决,而把另外两个释放.囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.甲如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.乙丙NO！

对于看守的上述理由,你是怎么想的?解：记A={囚犯甲被处决},B={囚犯乙被处决}C={囚犯丙被处决}依题意，P(A)=1/3,P(A|)=P(A)／[1-P(B)]=1/2,P(A|)=1/2,看守说得对.甲

下面建立两个用来计算复杂概率的重要公式：全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0先介绍样本空间的划分的定义。定义：设为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件，若

（1）BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,…,n;

（2）B1∪B2∪…∪Bn=，

则称B1，B2，…,Bn为样本空间的一个划分。

例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为={1，2，3，4，5，6}。E的一组事件B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6}是的一个划分，而事件组C1={1，2，3}，C2={3，4}，C3={5，6}不是的划分。

设试验E的样本空间为，A为E的事件，B1，B2，…Bn为的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)则

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

称为全概率公式。

证：因为A=A=A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn由假设P(Bi)>0(i=1,2，…，n)，且

(ABi)∩(ABj)=，i≠j，于是

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)2.全概率公式在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:例一箱同类型的产品,由三家工厂生产,其中1/2由甲厂生产,乙丙厂各生产1/4,又甲乙厂生产的产品均有2%的次品率,丙厂有4%的次品率,求任取一产品是次品的概率P(A);任取一产品是次品且恰是由甲厂生产的概率P(AB1);任取一产品发现是次品,问它是由甲厂生产的概率P(B1|A)

甲B1乙B2丙B3解:={箱中的全部产品}A:任取一产品是次品,Bi:取到的产品分别是由甲,乙,丙厂生产的.由题意:P(B1)=1/2,P(B2)=P(B3)=1/4,P(A|B1)=P(A|B2)=2/100;P(A|B3)=4/100且BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,3.B1∪B2∪B3=S由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.025.2)由乘法公式

P(AB1)=P(A|B1)P(B1)=0.01.3)P(B1|A)=P(B1A)/P(A),

由上面计算为0.4.

小结:利用全概率公式求P(A)时,关键是1)找到S的一个划分B1，B2，…，Bn,A总随着Bi出现,而

P(A|Bi)及P(Bi)容易求出.2)这个公式还可以从另外一个角度去理解，把Bi看成导致事件A发生的一种可能途径。对于不同的途径，A发生的概率即条件概率P（A/Bi）各不同，而采取哪个途径却是随机的。直观上易理解，在这种机制下，A的综合概率P（A）应在最小的P（A/Bi）和最大的P（A/Bi）之间，它也不一定是所有P（A/Bi）的算术平均，因为各途径被使用的机会P（Bi）各不同，正确的答案就是诸P（Bi）I=1,2,…n为权的加权平均值。

全概率公式还可以从另外一个角度去理解，B1

B2

…

Bn原因A结果P（Bi）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

加权平均值全概公式例盒中12个乒乓球，9个没用过，第一次比赛从盒中任取3个球，用后放回，第二次比赛再从盒中任取3个球，求：第二次比赛时所取的3个球都是没用过的概率。解：设A:第二次比赛时所取的3个球都是没用过的;Bi:第一次比赛时所取的3个球恰有i个是没用过的。则A的发生依赖于Bi的情况，Bi构成了任取3个球这一试验的样本空间的一个划分。于是该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”

这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.

某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.定理：设试验E的样本空间为,A为E的事件，B1，B2，…，Bn为的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则

i=1，2，…，n.称为贝叶斯（Bayes）公式。证：由条件概率的定义及全概率公式有i=1，2，…，n3.贝叶斯公式例2:对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？

解:设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，所需求的概率为P(B|A)，由贝叶斯公式先验概率后验概率

全概率公式还可以从另外一个角度去理解，B1

B2

…

Bn原因A结果P（Bi）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

加权平均值全概公式

贝叶斯公式的解释：P(B1)，P(B2)…，它是在没有进一步的信息（不知A是否发生）的情况下，人们对B1，B2…，发一可能性大小的认识，现在有了新的信息（知道A发生），人们对B1，B2…发生可能性大小有了新的估价。

贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。

贝叶斯公式作用在于“由结果推原因”，现在有一个“结果”A发生了，在众多可能的“原因”中，到底是哪一个导致了这个结果？这是一个在日常生活和科学技术中常要问的问题。

在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(A1|B)知道B发生后P(A2

|B)P(A3|B)最大偏小例3:据调查某地区居民的肝癌发病率为0.0004，若记“该地区居民患肝癌”为事件B1并记B2=B1,则

P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996

现用甲胎蛋白法检查肝癌，若呈阴性，表明不患肝癌，若呈阳性，表明患肝癌，由于技术和操作不完善以及种种特殊原因，是肝癌者还未必检出阳性，不是患者也有可能检出呈阳性，据多次实验统计这二者错误发生的概率为：

P（A|B1）=0.99,P（A|B2）=0.05

其中事件A表示“阳性”，现设某人已检出呈阳性，问他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？解：

在实际中，医生常用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人，当医生怀疑某人有可能患肝癌时，才建议用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象中，肝癌的发病率已显著提高了，比如说

P（B1）=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.

例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.

设B={飞机被击落}

Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3

由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则B