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文档简介

第四节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质三、小结练习题

从数列极限到函数极限的过度

数列是整标函数

当自变量n

取正整数无限增大时，函数f(n)无限接近常数

a

对于一般函数

y=f(x)，自变量的变化过程除上述情形外，还有以下几种变化过程：1.取正实数而无限增大。记为称为x

趋于正无穷大。一、函数极限的定义

对于一般函数

y=f(x)，自变量的变化过程除上述情形外，还有以下几种变化过程：1.取正实数而无限增大。记为称为x

趋于正无穷大。2.取负实数而无限减小。记为称为x

趋于负无穷大。3.取实数而同时趋于正、负无穷大(|x|无限增大）记为称为x

趋于无穷大。4.取实数而趋于某个有限值记为播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.

只要在数列极限定义中，将n

换为|x|，N

换为

X即为上述定义1。2、另两种情形:3、几何解释:例1证例2证注意：不存在。2、自变量趋向有限值时函数的极限问题:如何用精确的数学语言描述上述极限称在自变量的这一变化过程中函数f(x)

以A为极限2、几何解释:注意：一般说来，越小，也越小。例1证函数在点x=1处没有定义.例2证？在上述极限过程中，要保证x

0。不能保证x

0问题：例2证问题：如何保证x

0?（1）用定义证明的关键步骤将|f(x)–A|适当化简，变形或放大，使之出现下面的形式：再从中解出然后取（2）有时为了同时保证几个不等式成立，常常要在几个常数中取最小者。例3证？的选取仅与有关，与自变量x

无关。问题：例3证又x

2，不妨设1<x<3，请思考：为什么能这样？为什么要这样？则有1<x<3|x–2|<1请思考：为什么能这样？为什么要这样？3.单侧极限:例左极限:考虑此时必须满足定义：右极限:考虑此时必须满足定义：左右极限存在但不相等,例6证二、函数极限的性质1.有界性2.唯一性

简单地说，若函数f(x)在x

的某个变化过程中有极限，则在该变化过程中，函数有界。定理(保号性)推论3.函数极限的局部保号性4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)第四节作业习题1-4:2(1,3),3,4

只要在数列极限定义中，将n

换为|x|，N

换为

X即为上述定义1。内容回顾:自变量无穷大时函数的极限2、自变量趋向有限值时函数的极限三、小结极限的统一定义(见下表)过程时

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