专题：平面向量常见题型与解题指导

平面向量罕见题型与解题指导之巴公井开创作—、 时间：二O二一年七月二十九日二、考点回顾1、 本章框图2、 高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何暗示，了解共线向量的概念.2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.4、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处置有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，而且能熟练运用；掌握平移公式.7、掌握正、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力.3、 热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不年夜，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.以解答题考查圆锥曲线中的典范问题.此类题综合性比力强,难度年夜，以解析几何中的惯例题为主.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的暗示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题年夜大都是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题,有关平面向量部份突出考查了向量的基本运算.对和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查.本章的另一部份是解斜三角形，它是考查的重点.总而言之,平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用.考查的重点是基础知识和基本技能.4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部份，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形知识解决丈量不成达到的两点间的距离问题.在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的实质的认识，并体会用向量处置问题的优越性.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的

思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用.在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的丈量手段，通过学习提高解决实际问题的能力.二、罕见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常呈现在选择题与填空题中，在复习中要充沛理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,—1)为起点，且与向量b=(一3,4)平行的单元向量,则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单元向量e=±gIaI方法一：设向量a的终点坐标是(x，y)，则a=(x-3，y+1)，则题意可知4(x-4(x-3)+3(y+1)=0"、.、一(X一3)2+(y+1)2=1解得12_5或1y=-5=告，故填59y=-5(12，-1)或(18，-9)5 5 5 5方法二与向量b=(-3,4)平行的单元向量是土5(-3,4)，故可得a=±(-3,4),从而向量a的终点坐标是(x,y)=a—(3,—1),即55可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单元向量等概念.例2：已知|a|二1,|b|=1,a与b的夹角为60°,x=2a—b,y=3b—a,则x与y的夹角的余弦是几多？思路分析：要计算x与y的夹角。，需求出|x|,|y|,x・y的值.计算时要注意计算的准确性. D解：由已知|a|=|b|=1,a与b的夹角a为7\60°，得a•b=|a||b|cosa=1_. 夕\要计算x与y的夹角。，需求出|x|,|y|,x・y卢匝 的值.V|x12=x2=(2a—b)2=4a2—4a•b+b2=4—4X1+1=3,2|y12=y2=(3b—a)2=9b2—6b•a+a2=9—6X1+1=7.2x•y=(2a—b)•(3b—a)=6a•b—2a2—3b2+a•b=7a•b—2a2—3b2=7X1一2—3二一3,2 2又：x・y=|x||y|cos9,即一3二后X打cos。，Acos9=—2v21~T4点评：①本题利用模的性质|a|2=a2,②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设福=b,ac=a,ad=2a,ZBAC=60°.由向量减法的几何意义，得bd=ad—IB=2a—b.由余弦定理易得|Bd|=V3，即|x|=V3，同理可得|y|=J7.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1.平面直角坐标系中,0为坐标原点，已知两点A(3,1),B(—1,3),若点C满足OC=aOA+pOB，其中以，pER且以+P=1,求点C的轨迹方程..解：(法一)设C(x,y),则Oc=(x,y)，由OC=(x,y)=a(3,1)+B(T,3)=(3a-B,a+3B).・.户=3a-p,(可从中解出a、B)又・.・a+B=1消去]y=a+30a、B得x+2y-5=0(法二)利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A,B,C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x+2y—5=0,例2.已知平面向量a=(3,—1),b=(1,旦).(1)若存在实数2 2k和t,便得x=a+(t2—3)b,y=—ka+tb，且x±y,试求函数的关系式k=f(t)；(2)根据⑴的结论，确定k=f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系,k与t之间的等量关系怎么获得？②求函数单调区间有哪些方法？(导数法、界说法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：(1)法一：由题意知x=(t2-勇-3，兰2―2百-2),TOC\o"1-5"\h\z2 2y=(11一里k,et+k),又x^y2 2故x•y=技-2再-3x(11一侦2k)+*t2-2百-2XOlt+2 2 2 2k)=0.整理得：t3—3t—4k=0,即k=113—11.4 4法二：,.・a=(3,—1),b=(1,1!),.•..叫=2,b=1且al2 2bVxXy,Ax•y=0,即一ka/+t(t2—3)网2=0,t3—3t—4k=0,即k=113—314 4(2)由(1)知：k=f(1)=113—31.・.k'=f'(1)=313—3,4 4 4 4令k'V0得一1V1V1；令k'〉0得1V—1或1〉1.故k=f(t)的单调递加区间是(一1,1)，单调递增区间是(一8,—1)和(1，+8)・点评：第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种罕见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程年夜年夜简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例3：已知平面向量a=(后,—1),b=(1，空)，若存在不为零2 2的实数k和角a,使向量c=a+(sina—3)b,d=—ka+(sina)b，且?±d，试求实数k的取值范围.解：由条件可得：k=1(sina—3)2—9，而一1WsinaW1,4 2 16.,•当sina=—1时,k取最年夜值1； sina=1时,k取最小值一1.2又Vk尹0Ak的取值范围为[1,0)U(0,1].2点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，呈现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例4：已知向量a=(1,克),b=(f21)，若正数k和t使得向量x=a+(技+1)b与y=-ka+1b垂直，求k的最小值.tArt— ―— ―•- _—1一 -* 一―1—解：x±yox-y=0即[a+(12+1)b]•(一ka+-b)=0t•「a=(i,j2),b=(-72,1),・.」a|二后，lb|二龙a-b=一巨+t：2,代入上式 一3k+3£2±!=t+1>2tt当且仅当t=1,即t=1时,取“=”号,即k的最小值是t2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处"构题,又加强了对双基的考查.例7.设函数f(x)=a・b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,3sin2x),xER.(1)若f(x)=1一百且xE[—生,1],33求x；(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(m<?平移后获得函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解：(1)依题设，f(x)=(2cosx,1)・(cosx,再sin2x)=2cos2x+.再sin2x=1+2sin(2x+1)6由1+2sin(2x+1)=1—.'3,得sin(2x+1)=—笠.6 6 2•.•—1WxW1,.•.—1W2x+1W丑,.・.2x+1=—1,即3 3 2 6 6 6 3x=—土.4(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后获得函数y=2sin2(x—m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由⑴得f(x)=2sin2(x+—)+1L，|m|V土, **«m=——，n=l.12 11 2 12点评：①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C',明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y=f(x)的图象按向量a=(h,口平移后的函数解析式为y—k=f(x—h)、例8：已知a二(cosa,sina),b=(cosB,sinB)(0<a<P<n),(1)求证：a+b与a-b互相垂直；(2)若ka+b与a-kb的模年夜小相等(k《R且k尹0),求B—a解:(1)证法—七Va=(cosa,sina),b=(cosB,sinB).•.a+b=(cosa+cosB,sina+sinB), a-b=(cosa-cosB,sina-sinB)(a+b)・(a-b)二(cosa+cosP,sina+sinB)・(cosa-cosB,sina-sinP)=cos2a-cos2P+sin2a-sin2P=0(a+b)±(a-b)证法二：...a二(cosa,sina),b=(cosP,sinP)a|=1,|b|=1(a+b)・(a-b)=&-b2二|a12-|b|2=0「.(a+b)±(a-b)证法三：Va=(cosa,sina),b=(cosP,sinP)「.|a=1,|b|=1,记OA=a,OB=b，则|OAI=IOB1=1,又。尹B,..・O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中oc=a+b,ba=a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+b)±(a-b)(2)解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又 ： |ka+b|2 =(kcosa+cosB)2+(ksina+sinB)2=k2+1+2kcos(P—a),ka+b12= (cosa-kcosB)2+(sina-ksinB)2=k2+1-2kcos(B—a),.*.2kcos(B—a)=-2kcos(B—a)又Vk#0Acos(B—a)=0•..0<a<B<n.・.0<B—a<n, 「.B—a二土2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，经常使用的方法有三种,一是根据数量积的界说证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带,文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程.例9：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心,A(0,2),B(0,—2)且GM=xAb(入£R).(I)求点C(x,y)的轨迹E的方程；(II)过点(2,0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设

OP=OM+ON，是否存在这样的直线L,使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在,试说明理由.思路分析：(1)通过向量的共线关系获得坐标的等量关系.(2)根据矩形应该具备的充要条件，获得向量垂直关系，结合韦达定理,求得k的值.解：(1)由已知得G(-,-),又GH=XAB，二H(三,0)33 3CH=HA ...(x-x)2+》2=(x)2+4即X2+工=1(xW±2旬3 3 124(2)设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得(3k2+1)x2-12k2x+12(k2-1)=0设N(x,y),M(x,y),则x+x=12k2,xx=12(H)1 1 22 1 23k2+1 12 3k2+1•op=ON+OM，•二四边形OMPN是平行四边形.xx+yy=012 12若四边形OMPNxx+yy=012 12.•g+kV-浩+4)=0"±、:3直线1为：y=y=±寸3(x-2)点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.例10：已知椭圆方程兰+y2=1，过B(-1,0)的直线l交随圆于4C、D两点，交直线x=—4于E点,B、E分瓦的比分入］、入2.求证：入］+入2=0解：设l的方程为y=k(x+1)，代入椭圆方程整理得(4k2+1)x2+8k2x+4(k2—1)=0.设C(x,y),D(x,y),则x+x=—8k2 =4k2-412 22 1 2 4k2+1,124k2+1由~CB=XBD得(-1-x，一y)=X顷+1,y)1 1 12 2所以-1-x=X(x+1),人=-H.同理，记E(-4,y)，CE=XED1 12，1 x2+1 E乃 2少耳 g八gx+4 x+1x+4得-4-x=X(x+4),人=- .•.人+人=- — 1 22 2 x2+4 1 2 x2+1 x2+42x1x2艾+:3其中2xx+5(x+x)+8=2.4-5.上+8=0,(x+1)(x+4) 12 *1 / 4k2+1 4k2+122「.X+X=0.例11：给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、Bl的斜率为1,求04与OB夹角的余弦.解：C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x—1,将y=x—1代入方程y2=4x,并整理得X2—6x+1=0TOC\o"1-5"\h\z设A(x,y),B(x,y),则有x+x=6,xx=1,1 1 2 2 1 2 12从而04•OB=xx+yy=2xx—(x+x)+1=—312 12 12 1 2I04lelOBI=;；x2+y2•*+y;=41,cos.04,OB=_0L匹=-归！|oa|.|ob| 41例12.已知点仔是^ABC的重心,A(0,—1),B(0,1),在x轴上有一点M,满足|MA1=1MCI,GM=XAB(XER).⑴求点C的轨迹方程；⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于分歧两点P,Q,且满足1API=IAQI,试求k的取值范围.［分析］本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识,又考查