专题09 新定义问题(教师版)

专题09新定义问题（2）【规律总结】※知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。※要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。【典例分析】例1.（2020•东北师大附中明珠学校八年级期中）若规定，（x）表示最接近x的整数（x*n+0・5，n整数）例如：f（0.7）=1，f（2.3）=2,f（5）=5，则f（1）+f（豆）+f（、/W）+...」（、务）的值（ ）A（16 B（17 C.18 D（19【答案】D【分析】根据/（x）表示的意义，分别求出f（1），f（、'2），fG3），...f（、0）的值，再计算结果即可.【详解】由f(x)表示的意义可得，f(1)=1,fJ2)=1,f(\：'3)=2,f(瑚4)=2,f(,：5)=2,f(<6)=2,f(如7)=3,f(\.'8)=3,f(®'9)=3,酣(1)+f(。2)+f()+...+f(\.'9)=1+1+2+2+2+2+3+3+3=19,故选：D.【点睛】本题考查了新定义问题，准确理解新定义的基本意义是解题的关键.例2.(2020.浙江宁波市•七年级期末)现定义两种运算“㊉”“"，对于任意两个孩数，a©b=a+b-1,a*b=axb-1,则(6㊉8)*(3㊉5)的结果是.【答案】90【分析】首先理解两种运算"乎"*”的规定，然后按照混合运算的顺序，有括号的先算括号里面的，本题先算608,305，再把它们的结果用“*”计算.【详解】解：由题意知，(608)*(305)=(6+8-1)*(3+5-1)=13*7=13x7-1=90.故答案为：90.【点睛】本题考查有理数的混合运算.考查了学生读题做题的能力.理解两种运算回'"*”的规定是解题的关键.例3.(2021・广东佛山市•七年级期末)对于有理数a、b，定义了一种新运算“T为:2a-b(a>b)a^a^b=<a-—b(a<b)3如：5淤3=2x5-3=7,豚3=1-：x3=-1.计算：①2※(-1)=；②(-4)※(-3)=；若3^m=-1+3尤是关于尤的一元一次方程，且方程的解为%=2，求m的值；若A=—X3+4x2—x+1，B=—x3+6x2—x+2，且A淤B=—3，求2x3+2x的值.【答案】(1)①5；②-2；(2)1；(3)16.【分析】(1)根据题中定义代入即可得出；⑵根据x=2，讨论3和m的两种大小关系，进行计算；⑶先判定A、B的大小关系，再进行求解.【详解】根据题意：图2>-102※(-1)=2x2-(-1)=5图-4<-30(—4)淤(-3)=—4-2x(—3)=—4+2=—230x=203^m=—1+3x2=5①若3>m则2x3一m=5，解得m=1②若3<m.2 。则3-3xm=5，解得m=-3(不符合题意)，0m=1(3)0A—B=C—x3+4x2—x+1)—^―x3+6x2—x+2)=—2x2—1<00A<B2( )°0A^B=A——B=-x3+4x2-x+1- -x3+6x2-x+2/=—3302x3+2x=2x8=16【点睛】本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键.【好题演练】一、单选题（2020•北京西城区•北师大实验中学七年级期中）一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式.例如，x2+y2+z2是对称整式，x2—2y2+3z2不是对称整式.所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同单项式不可能是对称整式若某对称整式只含字母X,y,z,且其中有一项为X2y，则该多项式的项数至少为3.以上结论中错误的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【分析】根据对称整式的概念逐一辨析即可.【详解】两个对称整式求和后，与原来对称整式的字母相同，且项数次数等都相同，则这个整式仍然是对称整式，故正确；例如：X2+y2+z2+X+y+z是对称整式，但是每一项的次数不相同，故错误；例如：与，是单项式，也是对称整式，故错误；已知其中一项为x2y若X，y互换，则有项为：y2x若X，z互换，则有项为：z2y，y2z若z，y互换，则有项为：x2z，z2X园该多项式的项数至少为6，综上，结论错误的有②③④，故选：B.【点睛】本题考查整式的新定义问题，仔细审题，理解题意是解题关键.（2021•全国七年级）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数".如：2=13-（-1）3,26=33-13,2和26均为和谐数.那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数"之和为（）A.6858 B.6860 C.9260 D.9262【答案】B【分析】2017由（2n+1》-（2n—1》=24n2+2<2019可得n2< ，再根据和谐数为正整数，得到1<n<9,可得不超过2019的正整数中，"和谐数”共有10个，依次列式计算即可求解.【详解】解：由(2n+1)3—(2n—1)3=24n2+2<2019，可得n2图和谐数为正整数，园1<n<9，且为正整数，则在不超过2019的正整数中，所有的"和谐数'之和为13—(—1)3+33—13+53—33+...+193-173=193-(-1)3=6860故选：B.【点睛】本题考查了有理数的乘方、整式的乘法与乘法公式，弄清题中"和谐数”的定义是解本题的关键．二、填空题ab(2。2。东北师大附中明珠学校八年级期中)对于任意实数，若规定cd=ad*则当xi-2x-5=0时，【答案】9【分析】原式利用题中的新定义化简，把已知等式变形后代入计算即可求出值.【详解】解：0X2-2x-5=0,0X2-2x=5,则原式=(x+1)(x-1)-x(4-X)=X2-1-4x+x2=2x2-4x-1=2(x2-2x)-1=10-1=9.故答案为：9.【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键。(2020浙江绍兴市八年级其他模拟)定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”，若等腰三角形有一个内角为80°,则它的特征值k=8 1【答案】5或彳【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数.从而可求解.【详解】解：①当80°为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：(180-80)92=50°,图特征值k=80950=5②当80°为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20。图特征值k=20980=481综上所述，特征值k为5或彳81故答案为5或4【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知图人的度数，要分图人是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏.三、解答题(2020•浙江嘉兴市・八年级期末)我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点.

(1)特例感知等腰直角三角形 勾股高三角形(请填写啜”或者“不是”)BD=寸5，AD=1，试求线段CD的长度.BD,BD=寸5，AD=1，试求线段CD的长度.BD,AD=1(2)深入探究如图2,已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA〉CB,CD是AB边上试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；△【答案】(1)①是；②CD=2；(2)证明见解析.【分析】①设等腰直角三角形的直角边长为。，再求解斜边的长为V'2a，由Ja)-a2=a2,结合勾股高三角形的定义可得答案；②根据勾股定理得到CB2=CD2+5,CA2=CD2+1,根据勾股高三角形的定义得到CD2=BC2-AC2，再列方程，解方程可得答案；由园ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA〉CB，CD是AB边上的高，可得：CA2-CD2=CB2,再由勾股定理可得：CA2-CD2=AD2，从而可得结论.【详解】解：(1)①设等腰直角三角形的直角边长为a则斜边长=\：a2+a2=、•；2a园C2a)-a2=a2,等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，

图等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为：是；②CD±AB,BD=-j5，AD=1由勾股定理可得：CB2=CD2+BD2=CD2+5,CA2=CD2+AD2=CD2+1,霍ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，图CD2=BC2-AC2图CD2=（CD2+5^-（cD2+1）CD2=4，解得，CD=2（负根舍去）；（2）AD=CB，证明如下：霍ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高，图CD2=CA2—CB2:.CA2-CD2=CB2,CD±AB,卧CA2-CD2=AD2图CB2=AD2CB,AD都为线段，国AD=CB【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股高三角形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键.(2020全国九年级专题练习)若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K=a2+b2—ab，则称数K为“尼尔数”.例如：若P所表示的数为3，则a=2，b=4,那么K=22+42—2x4=12；若P所表示的数为12，则a=11，b=13，那么K=132+112—13x11=147，所以12，147是“尼尔数”.请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；已知两个“尼尔数”的差是189,求这两个"尼尔数”.【答案】(1)6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；(2)这两个尼尔数分别是228,39或1092,309.【分析】根据"尼尔数”的定义，设P表示的数为x(x是能被3整除的自然数)，则K=x2+3分别令X2+3=6，X2+3=39，解方程，判断x的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P表示的数为3m，则K可化为9m2+3，由m为整数得9m2+3被9除余3；设这两个尼尔数分别是K1，K2,将两个"尼尔数”所对应的“3倍点数叩"2分别记为3m1，3m2，则K1—K2=9m12—9m22=189，m12—m22=21，再根据m1，m2都是整数，可解出m1，m2，从而得到K1，K2.【详解】⑴设P表示的数为x(x是能被3整除的自然数)，则a=x-1，b=x+1K=(x-1)2+(x+1)2-(x-1)(x+1)=x2+3

令X2+3=6，得x=\；3，令x2+3=39，得X=606不是尼尔数，39是尼尔数.证明：设P表示的数为3m,则a=(3m—1),b=(3m+1),K=(3m—1)2+(3m+1)2—(3m—1)(3m+1)=9m2+3,0m为整数，0m2为整数，09m2+3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K1，K2,将两个"尼尔数”所对应的“3倍点数%P2分别记为