d1-4 -5无穷小无穷大极限运算法则

第一章

二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节机动目录上页下页返回结束无穷小与无穷大当一、无穷小定义1.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小

.时为无穷小.机动目录上页下页返回结束说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!因为当时,显然C

只能是0!CC时,函数(或)则称函数为定义1.

若(或)则时的无穷小

.机动目录上页下页返回结束其中为时的无穷小量.定理1.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回结束二、无穷大定义2

.

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在机动目录上页下页返回结束注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束例.证明证:

任给正数

M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:机动目录上页下页返回结束三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.

在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2思考与练习P41题1,3P41题3提示:

作业P412(1),(2);7第五节目录上页下页返回结束

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则时,有一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P56,题4(2))解答见课件第二节例5机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:

设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1.求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.

若机动目录上页下页返回结束推论:

若且则(P45定理5)利用保号性定理证明.说明:

定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:

令机动目录上页下页返回结束定理4

.若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)例2.

设

n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束为无穷小(详见P44)定理5.

若且B≠0,则有证:

因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束定理6

.

若则有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束

x=3时分母为0!例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:

若不能直接用商的运算法则.例4.

若机动目录上页下页返回结束例5.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束例6

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)机动目录上页下页返回结束三、复合函数的极限运算法则定理7.

设且

x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束定理7.

设且x

满足时,又则有

说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束例7.求解:

令已知(见P46例3)∴原式=(见P33例5)机动目录上页下页返回结束例8.求解:

方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动目录上页下页返回结束思考及练习1.是否存在?为什么?答:

不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动目录上页下页返回结束3.

求解法1原式=解法2令则原式=机动目录上页下页返回结束4.

试确定常数a

使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此作业P481（5），（7），（9），（12），（14）