常数项级数的收敛性判别法

会计学1常数项级数的收敛性判别法11.3.1正项级数及其收敛性判别法若定理11.4.

正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数

.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”故有界.第1页/共28页都有定理11.5(比较判别法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束第2页/共28页(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束第3页/共28页例1.

讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束第4页/共28页故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.2)若机动目录上页下页返回结束后一为几何级数,公比为该级数收敛.调和级数与p级数是两个常用的比较级数.第5页/共28页调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切第6页/共28页证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.机动目录上页下页返回结束第7页/共28页比较判别法的极限形式则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,机动目录上页下页返回结束第8页/共28页的敛散性.～例3.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～机动目录上页下页返回结束第9页/共28页定理11.6.比值判别法

(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.机动目录上页下页返回结束说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.第10页/共28页例5.

判别下列级数的敛散性.解:(1)根据定理4可知:级数收敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束(2)根据定理4可知:第11页/共28页例6.讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;第12页/共28页定理5.

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则数,且机动目录上页下页返回结束时,级数可能收敛也可能发散.说明:第13页/共28页例7.

讨论级数的敛散性.解:

故原级数收敛。机动目录上页下页返回结束例8.

讨论级数的敛散性.解:

故原级数收敛。第14页/共28页例8.

研究级数的敛散性．

所以级数是收敛的。解.由于第15页/共28页内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动目录上页下页返回结束第16页/共28页

作业

P2631(2),(3),(4),(6);

2(4),(6);

3(1),(2)第三节目录上页下页返回结束第17页/共28页思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动目录上页下页返回结束第18页/共28页备用题1.

判别级数的敛散性:解:

(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.第19页/共28页11.3.2、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数

.定理1

.(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足机动目录上页下页返回结束第20页/共28页收敛收敛例1

用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动目录上页下页返回结束第21页/共28页11.3.3、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.机动目录上页下页返回结束第22页/共28页定理11.9

绝对收敛的级数一定收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动目录上页下页返回结束第23页/共28页例2.

证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动目录上页下页返回结束第24页/共28页(2)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束第25页/共28页任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动目录上页下页返回结束内容小结