大学数学 导数实用

会计学1大学数学导数实用◆导数概念的物理背景——变速直线运动的即时速度

极限思想：令t→t0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度即直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。

如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时速度呢？

问题：设某质点做直线运动，运动方程为S=S(t),我们可用一段时间内,质点所发生的位移除以所花的时间△t,得到平均速度，即第1页/共20页◆导数概念的几何背景——曲线的切线问题问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点M,如何确定曲线在点M

处的切线？

过点M作曲线的割线MN，当动点N沿曲线向定点M靠拢时，割线MN则绕定点M旋转而趋于极限位置MT,得到曲线在点M

的切线。MNTMNxyoT切线：割线的极限位置。上述过程可用极限式表示如下：第2页/共20页◆导数Derivative的概念也可记作

若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。

设函数y=f(x)在点x=x0的某个邻域内有定义，当自变量x

在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0

处可导(derivable)，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0

处的导数(deriva记为即在引例中有第3页/共20页◆导数定义的不同形式导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质差商解答第4页/共20页◆变化率问题设某个变量Q随时间t的变化而变化，时刻t取值Q(t),从时刻t经过△t时间，量Q

的改变量为量Q

的平均变化率为(1)求增量(2)求增量比(3)取极限导数是平均变化率的极限◆导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度。第5页/共20页◆导数的几何意义MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切线方程为法线方程为第6页/共20页求导数步骤：(1)求增量(2)算比值(3)求极限例题设，求解所以如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果其结果表示是x的函数，称之为导函数。第7页/共20页若函数y=f(x)

在开区间I内的每点处都可导，就称函数y=f(x)

在开区间I

内可导。这时，对于任意x∈I

,都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=f(x)

的导函数（简称导数derivative），记作：把x0

换成x,可得或◆导函数的概念点导数与导函数的关系如上例中第8页/共20页

◆利用定义求导数举例例1

求常值函数的导数。解所以常数的导数等于零，即例2

求正弦函数的导数。所以同理可求得解第9页/共20页对一般的幂函数有例3

求幂函数的导数。解所以第10页/共20页例如第11页/共20页例4

求对数函数的导数。解所以特别第12页/共20页解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程为所求法线的斜率为所求法线方程为例5求双曲线在点处的切线的斜率，并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程。即即第13页/共20页◆单侧导数

左导数（derivativeontheleft）

右导数（derivativeontheright）函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。第14页/共20页例6已知解因为所以

，从而第15页/共20页◆函数的可导性与连续性的关系

函数f(x)在某点可导，则在该点连续。证明设函数

在点可导注意:

该定理的逆定理不成立.第16页/共20页例7

讨论函数f(x)=|x|

在点x=0的连续性和可导性。xyO故函数f(x)=|x|

在点x=0连续故函数f(x)=|x|

在点x=0不可导

连续是可导的必要非充分条件解

函数f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。第17页/共20页解例8在x=0处不可导第18页/共20页例9

求曲线的通过点（0，－4）的切线方程解