D正项级数的审敛准则

会计学1D正项级数的审敛准则2/42定理1.3

(比较审敛法I)设并且(1)若则(2)若则证:收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示两个级数的部分和．是两个正项级数,证明的基本思路与无穷积分的比较准则I相同.由于(2)是(1)的逆否命题，因此只证明(1)即可.根据定理1.2,级数必收敛.第1页/共37页3/42注:根据性质1.2,定理1.3中的条件“”因为改变级数的有限项，不影响级数的敛散性．可以改为“”．第2页/共37页4/42推论设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),第3页/共37页5/42证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例1.第4页/共37页6/42定理1.4(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,注:un,vn均为无穷小时,l

的值反映了它们不同阶的比较.第5页/共37页7/42的敛散性.

～例3.判别级数的敛散性.

解:

根据比较审敛法的极限形式知例4.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～第6页/共37页8/42例1.6讨论下列级数的敛散性.

(1)(2)例1.7判别级数的敛散性．思路：找出另一个级数与之作比较．找出与级数的通项的同阶无穷小量，寻找另一个级数的关键，在于寻找同阶，低阶，高阶无穷小量．就是找到比较的级数了.第7页/共37页9/42时的无穷小量.解:

显然，该级数的通项an是所以，它与例1.7判别级数的敛散性．为了分析它的阶数，利用ln(1+x)在x=0处的二阶Taylor公式：是同阶无穷小而级数故原级数收敛．第8页/共37页10/42定理1.5(积分判别法）函数则级数与无穷积分第9页/共37页11/42例1.8注:定理1.5中的无穷积分的积分区间可换成其中N是任意的正整数.解第10页/共37页12/42例1.9

无论是比较准则还是积分准则,在使用的时候都必须借助解于敛散性已知的级数或反常积分,因此很不方便.下面两种审敛准则,却是利用级数自身的条件来判断级数敛散性的.第11页/共37页13/42定理1.6

比值审敛法(D’Ａlembert(达朗贝尔)判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知第12页/共37页14/42因此所以级数发散.时(2)当说明:

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而第13页/共37页15/42例5.讨论级数的敛散性.解:

根据定理1.6可知:级数收敛;级数发散;第14页/共37页16/42定理1.7

根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项则级数,且第15页/共37页17/42时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–

级数说明:但级数收敛;级数发散.检比法与检根法..第16页/共37页18/42例1.10用适当方法判定下列正项级数的敛散性.解

(1)用检比法.由于故该级数收敛.(2)用检根法.由于故该级数发散.第17页/共37页19/42(3)用比较准则II.由于(4)比较准则I.由于注:级数敛散性的审敛准则共有5个,都是充分条件.还有级数收敛与发散的定义,收敛级数的性质等,做题时要灵活运用.一种方法不行就换其它方法.第18页/共37页20/421.3

变号级数的审敛准则

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)

若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足第19页/共37页21/42证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故第20页/共37页22/42收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛第21页/共37页23/42例1.11研究级数解

显然该级数满足Leibniz准则的条件,因此,当p>0下面证明,交错级数易见上式右端的前n项之和就是级数的敛散性.时收敛,特别地,当p=1时,级数也是收敛的.的和为ln2,并估计用部分和近似代替级数和时所产生的余项误差.的部分和并且第22页/共37页24/42Leibniz判别法是判别交错级数收敛的充分条件,故级数的和很多的交错级数和变号级数不能用此法判别.下面的绝对收敛准则是更常用的一种判别法.第23页/共37页25/42绝对收敛与条件收敛

定义:对任意的级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.则称原级第24页/共37页26/42定理1.9

若级数证:

因为根据级数的Cauchy收敛原理，收敛.收敛,收敛,则级数也收敛．若级数绝对收敛，则必收敛.第25页/共37页27/42例7.

证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.第26页/共37页28/42(2)令因此收敛,绝对收敛.小结第27页/共37页29/42例1.12

讨论级数的敛散性,若收敛,是否绝对收敛?证:(1)而收敛,第28页/共37页30/42其和分别为绝对收敛级数的性质定理1.10

绝对收敛级数重排后仍绝对收敛,而且和不变.(P275定理)(证明见P275～P277)定理1.11.

(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为(P277定理)说明:绝对收敛级数有类似有限项和的性质,

但条件收敛级数不具有这两条性质.绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.第29页/共37页31/42THEEND第30页/共37页32/42内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限第31页/共37页33/423.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛第32页/共37页34/42思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.第33页/共37页35/42备用题1.

判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.第34页/共37页36/42

作业

P2661(1),(3),(5);

2(2),(3),(4);

*3(1),(2);