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文档简介

会计学1D常系数非齐次线性微分方程一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束第1页/共18页(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束第2页/共18页例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束第3页/共18页例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束第4页/共18页二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束第5页/共18页第一步利用欧拉公式将f(x)变形机动目录上页下页返回结束第6页/共18页

第二步求如下两方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:机动目录上页下页返回结束第7页/共18页第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m

次多项式.机动目录上页下页返回结束第8页/共18页第四步分析因均为

m

次实多项式.本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束第9页/共18页小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),机动目录上页下页返回结束第10页/共18页例3.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束第11页/共18页例4.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束第12页/共18页内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为机动目录上页下页返回结束第13页/共18页思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.

(填空)

设机动目录上页下页返回结束第14页/共18页2.

求微分方程的通解(其中为实数).解:

特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束第15页/共18页3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动目录上页下页返回结束第16页/共18页作业P3171

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