D对面积曲面积分

会计学1D对面积曲面积分定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,

则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.第1页/共26页则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.

若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面第2页/共26页定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知第3页/共26页而(光滑)第4页/共26页说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)第5页/共26页例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:第6页/共26页思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则第7页/共26页例2.

计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示在平面第8页/共26页例3.设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则第9页/共26页思考:

若例3中被积函数改为计算结果如何?第10页/共26页例4.

求半径为R的均匀半球壳的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:

例3是否可用球面坐标计算?第11页/共26页例5.计算解:取球面坐标系,则第12页/共26页例6.

计算其中是球面利用对称性可知解:

显然球心为半径为利用重心公式第13页/共26页例7.

计算其中是介于平面分析:

若将曲面分为前后(或左右)则之间的圆柱面解:

取曲面面积元素两片,则计算较繁.第14页/共26页例8.

求椭圆柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面的侧面积S.解:

取第15页/共26页例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度

h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为,利用球坐标系,则卫星覆盖面积为第16页/共26页故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球以上的面积,故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:

此题也可用二重积分求A(见下册P109例2).第17页/共26页内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.第18页/共26页思考与练习P158题1；3；4(1);7解答提示:P158题1.P158题3.设则P184题2第19页/共26页P158题4(1).在xoy面上的投影域为这是的面积!第20页/共26页P159题7.如图所示,有第21页/共26页P184题2.设一卦限中的部分,则有().(2000考研)第22页/共26页1.

已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的的面密度质量M.解: