高中数学《向量的线性运算》3 苏教必修4

向量的数乘运算.1.向量加法的三角形法则作法:在平面中任取一点O,o回顾旧知:过O作OA=

a过A作AB=

b则OB=a+b.a+bbaA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾连.2.向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点O,o以OA,OB为边作平行四边形C如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB过O作OA=

a过O作OB=

ba+b则对角线OC=a+b共起点.3.向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点O,oaAa-bbB共起点过O作OA=

a过O作OB=

b则BA=a-b.实际背景.探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a

（如图）a试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)根据向量加法的法则可得

思考:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？.OABC

由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3a，即OC=3a.

显然，3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|..PQMN由图可知，

PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，即PN=-3a显然，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|。.（1）

一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。特别的，当时，思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点?①a是一个向量；②a的长度等于的绝对值与向量a的长度的乘积。.=探索2:(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。.设为实数，那么特别的，我们有

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有第一分配律第二分配律.例1.计算：..例2..练习3：在ABCD中，设对角线试用,表示练习4：凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证:.探索.如图：已知，，试判断与是否共线．

ABDEC∴与共线．

解：.思考:问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa？问题1：如果b=λa,

那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0),b，以及实数λ,.向量共线定理

对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积的定义知，a与b共线.

反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的λ倍，即|b|︰|a|=λ，那么当向量a与b同方向时，有b=λa，当向量a与b反方向时，有b=-λa.

也就是说：如果a与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a..例2:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，，求证M、N、C三点共线.AMBCDN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+

bMC=…=a+

b

所以M.N.C三点共线.一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)

b=λa向量a与b共线

二、定理的应用：

1.证明向量共线

2.