高中数学 2.3幂函数2 新人教A必修1

“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”我国著名数学家华罗庚指出:.问题1:如果小明将去景点看明星拍戏，购买价格为1百元的门票x张，那么他支付的钱数y＝？(百元)问题2:如果一个底面为正方形摄影棚的边长为x，那么这个摄影棚占地的面积y＝？问题3:如果底面为正方形的摄影棚，底面边长为x，高也为x，那么这个摄影棚的容积y＝？问题4:如果一个底面为正方形摄影棚的占地面积为x，那么摄影棚的边长y＝？问题5:如果小明去景点，x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=？（千米/秒）创设情境，导入课题：

横店是目前中国最大的影视拍摄基地，被誉为“中国好莱坞”。请同学们阅读以下材料并思考问题：.这五个函数可以统一写成一个一般形式：.幂函数.幂函数的定义（1）底数为自变量；问题一：表达式的结构有什么特点？（2）指数为常数；（3）幂的系数为1

..1.下列函数是幂函数的有______________.【小试牛刀】（1）（3）（5）(1)y=x4(5)

y=x0

(4)y=2x2

.幂函数的图象与性质：xy11O.合作探究：学习小组合作讨论请同学们根据五个特殊幂函数的图象和性质,总结归纳出一般的幂函数图象的特点与性质，它的图象和性质与什么因素有关系？你发现了哪些规律？问题二：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？问题三：第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系，为什么？问题四：所有图像都过哪些点，为什么？问题五：对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？问题六：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？.(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);(2)如果a＞０,则图象都过点（0,0）和（1,1）;a＞1，图像快速增加，0＜a＜1，图像缓慢增加(3)如果a＜０，则图象都只过点(1,1），在第一象限内，图象都向上无限接近y轴，向右无限接近x轴；(4)图象分布：第Ⅰ象限都有图象；第Ⅳ象限都没有图象；二三象限可能有，也可能没有图象；幂函数的图象分布规律.

y=x

y=x2y=x3

y=x

y=x-1定义域值域奇偶性单调性

公共点奇偶奇非奇非偶奇图象都过点(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减.幂函数的图象与性质

（三字经）定义域，根式求；一象限，图有都；四象限，都没有；二和三，看奇偶；正递增，负递减；都过1，正过0；奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶。.例1.如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________

思维升华：幂函数图象在直线x=1的右侧时:图象越高,指数越大;图象越低，指数越小。在Y轴与直线x=1之间正好相反。C4C2C3C11典例解析：.练习：图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为答案：B.例2.比较下列各组数的大小：思考：两个数比较大小时，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？思维升华：指数相同的幂，构造幂函数，底数相同的幂，构造指数函数，然后利用单调性进行大小比较。<>>.

练习:（1）（2）（3）比较各组值的大小><≤.证明幂函数在［0，+∞）上是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1).设x1,x2是某个区间上任意两个值，且x1＜x2;(2).作差f(x1)－f(x2)，变形;(3).判断f(x1)－f(x2)的符号；(4).下结论.例3.证明:任取所以幂函数在［0，+∞）上是增函数..证法二:任取x1,x2∈［0，+∞）,且x1<x2；

证明幂函数在［0，+∞）上是增函数.(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出f(x1)<f(x2)。即所以.练一练：证明幂函数在是减函数.思考:如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的值。

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课堂小结：

二.思想与方法1.数形结合的思想：2.类比法：一.幂函数的图象与性质定义域，根式求；一象限，