高二寒假讲义3 不等式（文） （教师专用）

高中数学寒假讲义寒假精练3不等式寒假精练3不等式典题温故1．已知集合，对于满足集合的实数，使不等式典题温故恒成立的的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，∴，∵不等式，即不等式恒成立，即不等式恒成立，即只需或恒成立，即只需或恒成立．∵，∴或．2．已知不等式，对任意正实数恒成立，则正实数的最小值是_____．【答案】【解析】由于，∴，此不等式恒成立，当且仅当时等号成立，由题设可得，∴，，∴．经典集训一、选择题经典集训1．若为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．3．若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．不等式的解集为（）A． B．C． D．5．已知，，且，则下列不等式中，恒成立的是（）A． B． C． D．6．当时，不等式的解集是（）A． B． C． D．7．若不等式在区间上有解，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税元(称为税率)，则每年的产销量将减少万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题9．若，满足约束条件，则目标函数的最大值是________．10．已知，若，则的最大值为________．三、简答题11．已知，求证：．12．某新成立的汽车租赁公司今年年初用102万元购进一批新汽车，在使用期间每年有20万元的收入，并立即投入运营，计划第一年维修、保养费用1万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加1万元，该批汽车使用后，同时该批汽车第年底可以以万元的价格出售．（1）求该公司到第年底所得总利润(万元)关于(年)的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该公司应在第几年底出售这批汽车?说明理由．13．设函数(，，为常数，且，)．（1）当，时，求证：；（2）当时，如果对任意的都有恒成立，求证：．

【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】选项A，当时不成立；选项B，∵，∴，正确；选项C，取，，，，则不成立；选项D，若，则，因此不正确．2．【答案】B【解析】由不等式的解集为，得，且方程的两个根分别为，．由韦达定理得，，所以可化为，化简得，即，解得或，即不等式的解集为．3．【答案】B【解析】可化为，当时，不等式为恒成立；当时，不等式的解集为；当时，则，解得，综上有．4．【答案】D【解析】不等式等价于，所以或，故选D．5．【答案】D【解析】因为，当且仅当时，等号成立，所以A错误；对于D，因为，所以，故D正确；对于B，C，当，时，明显错误．6．【答案】D【解析】当时，不等式等价于，且，，解得或，故不等式的解集为．7．【答案】A【解析】∵关于的不等式在区间上有解，∴，，．∵函数在单调递减，∴当时，函数取得最小值．∴实数的取值范围为．8．【答案】A【解析】设产品销量为每年万瓶，则销售收入每年万元，从中征收的税金为万元，其中．由题意，得，整理得，解得．二、填空题9．【答案】3【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：由图易得，当，时，目标函数的最大值为3．10．【答案】2【解析】∵，∴，即，即，∴，当且仅当时等号成立，即的最大值是2．三、简答题11．【答案】证明见解析．【解析】证明：，∵，∴，，∴，即．12．【答案】（1）见解析；（2）第12年底出售该批汽车．【解析】（1）依题意得，∵，，∴当时，，∴该公司到第19年所得的总利润最大，最大值为万元．（2）依题意年平均利润为，∵，当且仅当，即时等号成立，∴该公司在第12年底出售该批汽车时经济效益最大．13．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）当，时，．①当时，，当且仅当