有限元学生提问与解答秋

学生问题及解答1三结点三角形单元的位移函数构造。轴对称问题，各项应变的含义。在描述板的内力方程时，微元体只表示出正应力合成了弯矩，剪应力合成了扭矩，为什么没有剪应力合成剪力？拿悬臂板和悬臂梁作对比，为什么微元体侧面的剪力不见了？在梁里面，弯矩和剪力是成对出现的，为什么板里面剪力和弯矩不成对出现？第4章薄板问去问题。教材和讲义中，转角的方向有不对的地方，转角是挠度对坐标的偏导，根据右手螺旋法则，有些地方转角的正负号规定不对？25.在第4章计算例题部分，算内力时，那个[S]矩阵究竟是几乘几阶？31．关于三结点三角形单元的位移函数构造，为什么不宜取如下位移函数？(2)(3)(1)4学生的疑问：三角形有3个顶点，有6个已知位移分量，则可以确定以上位移函数的6个待定系数，或者说只要待定系数是6个，都可以求出，那位移函数就可以求出来。也就是说，不管假设位移函数是x、y的几次多项式，都能求出位移函数。位移函数是坐标x,y的函数，不是结点位移的函数，因为结点位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某个点的值，不是变量。对于位移的协调性问题，在相邻单元公共边，只要两个结点位移确定了，就可以根据位移函数计算出边界上各个点的位移值，那相邻单元公共边的位移肯定是一样，为什么会不协调呢？5在有限元里面，假设的位移函数是用来表达单元内任意点的位移和节点位移的关系。位移函数是坐标x,y的函数，同时也是节点位移的函数。不能说结点位移ui,uj,um,vi,vj,vm是位移在某个点的具体值，不是变量。相对于位移函数来说，它们当然是变量，因为位移函数要表达单元内部任意点的位移和节点位移的关系，相对于位移函数来说，节点位移是自变量。对于三结点三角形单元，任何假设的位移函数，只要待定系数是6个，肯定能解出6个待定系数，但是假定的位移函数是否合理，还要考虑位移模式的收敛性条件：完备性和连续性6(1)完备性要求，即位移模式必须包含刚体位移和常应变。(2)(1)(1)(2)没有包含刚体转动位移如(1)，在单元内同一条竖直线上，u位移都相同，不能表达单元的刚体转动。如(2)，当发生刚体转动时，在同一条竖直线上，u位移是y的二次函数，不是直线，不符合刚体位移的要求。刚体位移7对于常应变问题，位移函数（1）（2）中没有剪应变的常应变项，（3）中没有正应变的常应变项。(2)(1)(3)8(2)连续性要求：对于位移函数是线性的情况，即单元中的一条直线变形后仍为直线，而相邻单元在两个公共节点上的位移又应是相等的，所以位移协调。检查位移函数(1)，对于图示的两个直角三角形单元，当节点3发生水平位移到3’，根据位移函数，单元(1)和(2)在公共边23上的水平位移u是个常数，根本没法描述发生图示位移的情况，则23边上的水平位移究竟是多少？不能确定，或者说解不出来，那么如何满足相邻单元(1)和(2)在公共边23上的位移协调呢？存在矛盾。(1)92.轴对称问题，各项应变的含义？（在讲义2.7八结点曲线四边形等参元，介绍单刚时，列出了轴对称问题的应变）在轴对称问题中，通常采用圆柱坐标(r,θ,z)，以对称轴作为z轴，所有应力、应变和位移都与θ无关，只是r和z的函数。任意点的位移只有两个方向的分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w。由于轴对称，θ方向的环向为零。因此轴对称问题是二维问题如果弹性体的几何形状、约束条件及荷载都对称于某一轴，例如z轴，则所有的位移、应变及应力也对称于此轴。这种问题称为轴对称应力问题。10由于对称，只须取出一个截面进行分析，但在计算中应注意到所采用的单元是圆环。rzθ

位移向量{u,w}113.在描述板的内力方程时，微元体只表示出正应力合成了弯矩，剪应力合成了扭矩，为什么没有剪应力合成剪力？拿悬臂板和悬臂梁作对比，为什么微元体侧面的剪力不见了？在梁里面，弯矩和剪力是成对出现的，为什么板里面剪力和弯矩不成对出现？仔细考虑此问题，需要对薄板弯曲问题的基本假定描述做进一步细化，并修改一些表达。基本假定：１、略去垂直于中面的法向应力。(εz=0,可以忽略σz,在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的位移，即以中面上沿z方向的挠度w代表板的挠度。)12２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。（─法向假定，忽略了沿z轴的剪应力τzx和τzy所对应的剪应变，即εzx=0,εzy=0。但是在考察薄板微分单元的平衡时τzx和τzy是必须的。这种应力和变形之间的矛盾在应用弹性力学中是经常出现的，如在杆件弯曲理论中也存在类似的情况，对于一般的梁，忽略剪切变形对挠度的影响，但是截面的剪应力是不能忽略的。）３、板弯曲时，中面不产生应力。(─中面中性层假定，在中面上，εx=εy=εxy=0)13③z平面的应变分量和曲、扭率基本假定，由于

,

故板内任意点的应变与平面问题相同，剩下

内力方程（内力─挠度关系）对于薄板弯曲问题，由垂直板面的荷载引起的剪应力一般较小，常常忽略不计。但是在很大的集中荷载作用下，需要考虑冲切问题。144.第4章薄板问去问题。教材和讲义中，转角的方向有不对的地方，转角是挠度对坐标的偏导，根据右手螺旋法则，有些地方转角的正负号规定不对？A点挠度为w,则沿x方向倾角(绕y轴)沿y方向倾角(绕x轴)这里转角的方向按右手螺旋法则确定正负号时，以逆时针为正。15另外，也可以尝试假设挠度是x或y的一次多项式，则一次式的对x或y求导就是转角，也符合图示对应的正负号。对于

，它要反映在xoz平面这条边的转角，x轴朝右，此时用右手螺旋法则时，大拇指要对着观察者。对于，它要反映在yoz平面这条边的转角，从右往左看过去，y轴要朝右，此时用右手螺旋法则时，也要大拇指要对着观察者。165.在第4章计算例题部分，算内力时，那个[S]矩阵究竟是几乘几阶？根据内力计算公式，则[s]的阶数是3*12阶，而结点位移{d}e是12*1阶的向量，相乘之后得到{F}是3*1阶的向量，而在算例中得到的内力是12*1阶的向量，如何解释这个矛盾，[S]究竟是几阶的矩阵？解释：表达单元的内力方程时，

时，单元内每个点的内力有3个，两个弯矩和一个扭矩，{F}和{S}都是x,y的