人教版数学九年上册二次函数中四边形相关的存在性问题例析

人教版数学九年上册二次函数中四边形有关的存在性问题例析说说怎样解答抛物线中四边形存在性问题，供同学们学习时参照。1、能否存在点，使四边形组成平行四边形例1、已知，如图1所示，抛物线yax23axc(a0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左边。点B的坐标为(1，0),OC=30B．求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。能否存在以A、C、E、P为极点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明原因．解析：1）由于，点B的坐标为(1，0),因此，OB=1，由于，OC=30B，因此，OC=3，由于，对称轴3a3x，由于，a02a2，因此，点C的坐标是（0，-3），把B(1,0)、C(0，－3)代入yax23axc得：c3，a3ac0解得：因此，

3，c34y3x29x3；442）如图2所示，过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作CC1∥x轴，交抛物线于C1，从图象中可判断，当点D在CC1下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。因此，S四边形ABCD＝SOBCS梯形AOQD－SDQC=31(4DQ)OQ1DQ(OQ3)=32OQ3DQ，222223293)设D(x，xx44则S四边形ABCD＝32(3x29x3)3x3(x2)227，244222因此，当x2时，四边形ABCD面积有最大值27。（3）如图3所示，2①过点C作CP1∥x轴，交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACPE11为平行四边形，由于，C(0，-3)令3x29x33，解得：x10，x2344因此，CP13，因此，P1(3，3)②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，由于，C(0，-3)设P(x，3)，由3x29x33得：x23x80，44解得：341341x2或x2，此时存在点P2(341，3)和P3(3－41，3)，22综上所述存在3个点吻合题意，坐标分别是P1(3，3)，P2(341，3)，2P3(3－41，3)22、能否存在点，使四边形组成直角梯形例2、如图4所示，二次函数yx2pxq(p0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ABC的面积为5。41）求该二次函数的关系式；2）在该二次函数的图象上能否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明原因。解析：（1）、把（0，-1）代入抛物线yx2pxq(p0)，得：q=-1，因此，二次函数的解析式是：y=x2px1，设抛物线：y=x2px1与x轴的交点A的坐标是（x1，0），B的坐标是（x2，0），则x1，x2是一元二次方程x2px1=0的两个根，因此，x1+x2=-p，x1x2=-1，因此，AB=|x2-x1|=(x2x1)2(x1x2)24x1x2=p24因此，S△ABC=1ABOC1p241p24，222由于，△ABC的面积为5，4因此，p24=5，24解得：p=3或p=-3，由于，p＜0，因此，p=-3，2232因此，抛物线的解析式是：y=x2x1；32（2）令y=0，解方程：x2x10，1,x2,2解得：x122因此，A(1,0),B(2,0),2因此，OA=1，OB=2，OC=1,2在直角三角形AOC中，得：AC=OA2OC2=5，2在直角三角形BOC中，得BC=OB2OC2=5，AB=p24=5,2222因此，AC+BC=AB,因此，三角形ABC是直角三角形，AB为斜边，即AC⊥BC,①如图5所示，若以AC为底边，则BD//AC，易求AC的解析式为y=-2x-1,因此，直线BD的k的值也是-2，因此，设BD的解析式为y=-2x+b，B(2,0)代入，BD解析式为：y=-2x+4，yx23x1解方程组2，y2x4得：D（5,9）2②如图6所示，若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A(1，,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.252yx23x1得D(5,3)解方程组222y0.5x0.25综上，因此存在两点，使四边形ABCD为直角梯形。而且点D的坐标是（5,9）或(5,3)。3、能否存在点，使过点的直线把图形的面积均分222例3、如图7所示，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=4，点B的坐标为(7，4)．3求点A、C的坐标；求经过点0、B、C的抛物线的解析式；(3)在第一象限内(2)中的抛物线上能否存在一点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分红面积相等的两部分?若存在，恳求出点P的横坐标；若不存在，请说明原因．解析：1）、如图8所示，过点B作BD⊥OA，垂足是D，过点C作CE⊥OA，垂足是E，由于，点B的坐标为(7，4)，因此，OD=7,BD=4，在直角三角形ABD中，由于，tan∠BA0=BD，且tan∠BA0=4，AD3因此，BD=4，因此，AD=3，AD3由于，BC∥OA，OC=AB，因此，OE=AD=3,因此，DE=OD-OE=7-3=4=BC,因此，OA=OD+AD=7+3=10,DE=OD-OE=7-3=4，因此，点A的坐标是（10，0），点C的坐标是（3，4）；（2）设经过点0、B、C的抛物线的解析式是y=ax2bxc，把点（0，0），（3，4）和（7，4）分别代入解析式，得：c09a3bc4，49a7bc4解得：a=-4，b=40，2121因此，抛物线的解析式是：y=-4x2+40x，（3）2121如图9所示，在BC上取一点M，使CM=0.5，则BM=BC-CM=4-0.5=3.5，过点M作MN∥AB，交OA于点N,则四边形MBAN是平行四边形，因此，NA=MB=3.5，ON=OA-NA=10-3.5=6.5,因此，平行四边形MNAB的面积是：3.5×4=14，梯形CONM的面积是：1(CMON)BD1(0.56.5)4=14,22因此，存在直线MN，知足平行于等腰梯形的腰，并把梯形的面积均分，由于，点M的坐标是（3.5，4），点N的坐标是（6.5，0），设直线MN的解析式是：y=kx+b，因此，3.5k+b=4，6.5k+b=0，426解得：k=-，b=,334x+26，因此，直线的解析式是y=-33因此，-4x+26=-4x2+40x，332121整理得：2x234x910，解得：x=172107或x=17107；2当x=17107时，y=82107；23当x=17107时，y=21078；23因此，点P的坐标是（17107，82107）或（17107，21078），2323由于，点P在第一象限，因此，点P的坐标是（17107，21078）；23如图10所示，在BC上取一点G，使BG=0.5，则CG=BC-BG=4-0.5=3.5，过点G作GH∥OC，交OA于点H,则四边形OCGH是平行四边形，因此，OH=CG=3.5，HA=OA-OH=10-3.5=6.5,因此，平行四边形OCGH的面积是：3.5×4=14，梯形BGHA的面积是：1(BGHA)BD1(0.56.5)4=14,22因此，存在直线GH，知足平行于等腰梯形的腰，并把梯形的面积均分，由于，点G的坐标是（6.5，4），点H的坐标是（3.5，0），设直线GH的解析式是：y=mx+n，因此，6.5m+n=4，3.5m+n=0，解得：m=4，n=-26,33因此，直线的解析式是y=4x-26，33因此，4x-26=-4x2+40x，332121整理得：2x26x910，解得：x=3191或x=3191；22当x=3191时，y=219120；23当x=3191时，y=219120；23因此，点P的坐标是（3191，219120）或（3191，219120），2323由于，点P在第一象限，因此，点P的坐标是（3191，219120）；23综上所述，存在这样的点P，使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分红面积相等的两部分。4、能否存在点，使两个四边形的面积之间的等量关系建立例4、如图11，已知正比率函数和反比率函数的图象都经过点A(3，3)．（1）求正比率函数和反比率函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比率函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；yCDABD3）第（2x轴、轴分别交于三点的二（）问中的一次函数的图象与、，求过、、次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上能否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S知足：S12E的坐标；若不存在，请说明原因．S？若存在，求点3解析：（1）设正比率函数的解析式为yk1x(k10)，由于yk1x的图象过点A(3，3)，因此33k1，解得k11．这个正比率函数的解析式为yx．设反比率函数的解析式为yk2(k20)．x由于yk2的图象过点A(3，3)，因此k2x3，解得k29．39这个反比率函数的解析式为y．x（2）由于点B(6，m)在y9的图象上，因此xm9336，则点B6，．22设一次函数解析式为yk3xb(k30)．由于yk3xb的图象是由yx平移获得的，因此k31，即yxb．3又由于yxb的图象过点B6，，因此23b，解得b9，6229一次函数的解析式为yx．2（3）由于yx9的图象交y轴于点D，因此D的坐标为0，9．22设二次函数的解析式为yax2bxc(a0)．由于yax2bxc的图象过点A(3，3)、B3、和D0，9，6，229a3bc3，a1，32因此36a6bc，解得，2b499cc..22这个二次函数的解析式为y1x24x9．22（4）yx9交x轴于点C，点C的坐标是9，，22如图12所示，1516