下列正方体或正四面体中

立体几何复习（二）m和n是分别在两个互相垂直的面a、P内的两条直线，a与P交于1,m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是（D）可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，也可能平行 D.既不可能垂直，也不可能平行右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面其中正确命题的序号是（D ）A.①③B.①④C.②③ D.③④①若a±b,a±a，则b//a②若a//a,a1p，则a1p()()③a1p,a1p，则a//a④若a1b,a1a,b1③a1p,a1p，则a//a其中正确的命题的个数是（B ）（第4个正确）A.0个 B.1个C.2个D.3个如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为t2，底面边长为（3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为（B）A.90° B.60° C.45° D.30°对于平面M与平面N,有下列条件:①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M内不共线的三点到N的距离相等；TOC\o"1-5"\h\z④l,M内的两条直线，且l//M,m//N;⑤l,m是异面直线，且l//M,m//M;l//N,m//N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是A.1B.2 C.3 D.4只有②、⑤能判定M//N，选B正四面体棱长为1，其外接球的表面积为（B）.3 5A.%3n B—n C；n D.3n2 2在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条解析：除去AD1所在的平面和他的对面的四条对角线，剩下的都是，如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。BB有三个平面a,B,Y，下列命题中正确的是（D）（A）若a,B，Y两两相交，则有三条交线 （B）若a±B，a±Y，则B〃Y（C）若a_LY，BCa=a，B^1Y=b，则aXb（D）若a〃B，BHY=0，则aCY=0解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C项:如图C项:如图下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个正确答案：Da和b为异面直线，则过a与b垂直的平面（ ）A、有且只有一个 B、一个面或无数个C、可能不存在 D、可能有无数个正确答案：C给出下列命题：①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面a内的射影为c，直线aLc，则aLb④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是（①）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为a，p，则a+p满足（B）A、a+p<900 B、a +p <900 C、a +p>900 D、a+p 3900设a，b，c表示三条直线，a,p表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。A.c±a，若c±p，则a//P B.bua，cWa，若c//a，则b//cC.buP，若b1p，则Pla D.buP，c是a在P内的射影，若b±c，则b±a正解：CC的逆命题是buP，若P1a，则b1a显然不成立。误解：选B。源于对C是a在P内的射影理不清。a和P是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面a和P平行的是（ ）。A.a和P都垂直于平面 B.a内不共线的三点到P的距离相等C.l,m是a平面内的直线且l//P,m//PD.l,m是两条异面直线且l//以,m//以,m//p,l//P正解：D对于A,以,p可平行也可相交；对于B三个点可在P平面同侧或异侧；对于C,l,m在平面a内可平行，可相交。对于D正确证明如下：过直线l,m分别作平面与平面a,p相交，设交线分别为11,m1与,m，由已知1//a,1//P得1//1,1//1，从而1//1，则1//P，同理m//p，Aa//p。TOC\o"1-5"\h\z2 12 12 1 1若平面a外的直线a与平面a所成的角为6，则6的取值范围是 （ ）（A）（0,-） （B）［0,^） （C）（0,七 （D）［0,七2 2 2 2错解：C错因：直线在平面a外应包括直线与平面平行的情况，此时直线a与平面a所成的角为0正解：D如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a,b都相交；（2）过P一定可作直线L与a,b都垂直；（3）过P一定可作平面a与a,b都平行；（4）过P一定可作直线L与a,b都平行，其中正确的结论有（ ）A、0个B、1个 C、2个 D、3个答案：B，只有（2）是正确的错解：C认为（1）（3）对D认为（1）（2）（3）对错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ）A、1对B、2对 C、3对D、4对答案：C错解：D错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。已知a、b、c是三条不重合的直线，a、6、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①allc，b〃cna〃b；②aIIy，b〃rna〃b:③。〃c，6//cna〃6；④a〃r，6〃rna〃6:⑤a〃c，a〃cna〃a；＜©a〃r，a〃rna〃a.其中正确的命题是（A）（A）①④ （B）①④⑤ （C）①②③ （D）①⑤⑥已知直线l上平面a，直线mU平面8，有下面四个命题：（1）a〃8ni±m （2）a±pni〃m（3）l〃mna±p （4）l±mna〃8其中正确的两个命题是（）A.⑴与（2） B.（3）与（4） C.（2）与（4） D.（1）与（3）解法一：在l^a，mU8的前提下，当a〃8时，有1^8，从而l±p，从而l±m，得（1）正确；当a±8时，l垂直于a、8的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故（2）不正确.故应排除A、C.依题意，有两个命题正确，不可能（3），（4）都正确，否则连同（1）共有3个命题正确.故排除B，得D.解法二：当断定（1）正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查（3），由l〃m,l〃a知m±a，从而由mUa得a±8.即（3）正确.故选D.已知a-l书是直二面角，直线a轻a，直线b轻p，且a、b与l都不垂直，那么（）.A.a与b可能平行，也可能垂直 B.a与b可能平行，但不可能垂直C.a与b不可能平行，但可能垂直 D.a与b不可能平行，也不可能垂直解析：B.当anl=。，bnl=0时，a〃b，即a、b可能平行，假设a±b，在a上取一点R作PQLl交l于Q，'：二面角a-l-p是直二面角，...PQ±P，...PQXb.Ab垂直于a内两条相交直线a和PQ，.b±a，.b±l.这与已知b与l不垂直矛盾....b与a不垂直在下列命题中，真命题是（）若直线m、n都平行平面a，则m〃n;设a—l一p是直二面角，若直线m±l，则m^n，m±p；若直线m、n在平面a内的射影是一个点和一条直线，且m±n，则n在a内或n与a平行;设m、n是异面直线，若m和平面a平行，则n与a相交.解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在a内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.经过平面a外两点A，B和平面a垂直的平面有 个？解析：一个或无数多个。当A，B不垂直于平面a时，只有一个。当A，B垂直于平面a时，有无数多个。24.OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离分别为3,4，7，则OP长为.解析：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ1OZ，PY1OY，PX1OX，有OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9,OY2+OZ2=16，得OX2+OY2+OZ2=37,OPf'37.判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。判断题：若a,b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行。错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面时恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行。在平面角为60。的二面角a-1-P内有一点P，P到a、P的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱l的距离为

公2而答案：一3—cm正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面 答案：面AD1C点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-ADf，易瞎猜。自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"PA2+PB2+PC2=4R2 。正解：4R2，可将pa,PB,PC看成是球内接长方体的长，宽。高，则PA2+PB2+PC2应是长方体对角线的平方，即球直径的平方。误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。30.四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为，减区间为 。正确答案：(0，亨] 斗，331.如图，在正三棱柱ABC-A]B]C]中，AB=3，AA1=4,M为_AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱Cq到M点的最短路线长为<29，设这条最短路线与qC的交点为N。求1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2)PC和NC的长；3)平面NMP和平面ABC所成二面角(锐角)的大小正解：①正三棱柱ABC-A]B]C]的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为<92+42=顶②如图1，将侧面BC1旋转120使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CQ到点M的最短路线。设PC=x，则Pf=x，

在RtAMAP中，（3+x）2+22=29,x=21・••MC=PIC=J.nc=4MAPA5 5i③连接PP1（如图2）,则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH±Pp于H,又CQ1平面ABC,连结CH,由三垂线定理得，CH1PP。1.•./NHC就是平面0肱尸与平面人8。所成二面角的平面角。,.一，,一1.一一一一在RtAPHC中，ZPCH=-ZPCP