初高中学习衔接教材因式分解

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初高中连结教材之因式分解

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，其他还应认识求根法。

我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：

（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2；（2）完满平方公式(a222ab2b)a．b我们还可以经过证明获得以下一些乘法公式：（1）立方和公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（2）立方差公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（3）三数和平方公式(a2222bc)abc2(abbc；)ac（4）两数和立方公式(a332b323b)a3aab；b（5）两数差立方公式(ab)3a33a2b3a2b．b1．提取公因式法与分组分解法、公式法

例1分解因式：2（1）2（y－x）+3（x－y）

（2）mn（m－n）－m（n－m）2

（3）x2y22xy9（4）a24ab4b22a4b（5）x3x2yxy2y3（）b)(a1)abb26(a

2．十字相乘法

例2分解因式：

1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；

（3）x2(ab)xyaby2；（4）6x2xy2y2

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3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法）

若关于x的方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

ax2bxc(a0)即可分解为a(xx1)(xx2).

例3把以下关于x的二次多项式分解因式：

（1）x22x1；（2）x24xy4y2．

当堂反响：1．填空：（1）1a21b2(1b1a)（）；9423（2）(4m)216m24m()；(3)(a2bc)2a24b2c2()．2．分解因式：（1）5（x－y）3+10（－）2（）2222yx2cababc

4x222a32a4（3）2xxyxyxyyx（4）2

（5）8a3－b3；（6）x2＋6x＋8；

（7）4(xy1)y(y2x)（8）4x413x29；

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（9）20a433a2b27b4

2（10）x25x10x25x96

4．在实数范围内因式分解：（1）x25x3；（2）x222x3；

（3）3x24xyy2；（4）(x22x)27(x22x)12．

5．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

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初高中连结教材之一元二次方程

第1课时根的鉴识式

我们知道，关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为(xb)2b24ac．①2a4a2因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，所以，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝bb24ac；2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，所以，原方程有两个等的实数

根1＝x2＝－b；x2ab（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左侧(x)22a必定大于或等于零，所以，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判断，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的鉴识式，平时用符号“Δ”来表示．2综上所述，关于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

x1，2＝bb24ac；2a（2）当＝0时，方程有两个相等的实数根1＝x2＝－b；x2a（3）当＜0时，方程没有实数根．例1判断以下关于x的方程的根的情况（此中a为常数），假如方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．

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说明：在第3，4小题中，方程的根的鉴识式的符号跟着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行议论，这一方法叫做分类议论．分类议论这一思想方法是高中数学中一个特别重要的方法，在今后的解题中会常常地运用这一方法来解决问题．【当堂反响】1、方程x223kx3k20的根的情况是。2、若关于x的方程2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数mmx的取值范围是。3．已知a28a16|b1|0，当k取何值时，方程2＋ax＋b＝0有两个不kx相等的实数根？

4．试判断当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

2c5.已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是

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第2课时根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1bb24ac，x2bb24ac，2a2a则有：x1x2bb24acbb24ac2bb；2a2a2aax1x2bb24acbb24acb2(b24ac)4acc．2a2a4a24a2a所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：假如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么1＋x2＝b，1·2＝c．这一关系也被称为韦达定理．xxxaa以两个数x1，x2为根的一元二次方程是：a(xx1)(xx2)0例1已知方程5x2kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例2已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对

应的m的范围，此后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，

取满足条件的m的值即可．

（1）在今后的解题过程中，假如但是由韦达定理解题时，还要考虑到根的鉴识式能否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例3已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

说明：从上边的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．文案大全适用文档

例4若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－1＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求11的值；x12x2233（3）x1＋x2．

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们常常会遇到求这一个量的问题，为认识题简单，我们可以商讨出其一般规律：

设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则x1bb24ac，x2bb24ac，2a2a∴|x1－x2＝bb24acbb24ac2b24ac|2a2a2ab24ac．|a|a||于是有下边的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1－x2＝（其||a|＝b2－4ac）．中今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上边的结论．例5若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，务实数的取值范围．

【当堂反响】1＝若方程2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则1．1.xx2x1方程2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．2.mx3.以－3和1为根的一元二次方程是．4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．文案大全适用文档

【课后作业】

1.已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是．2.以下四个说法此中正确说法的序号是．①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为7；3④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．3.关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是．4.方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．5.方程2x222．－x－4＝0的两根为α，β，则α＋β＝6.关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，则实数m的值为．7.方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．8．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

9．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

1）求证：方程有两个不相等的实数根；

2）设方程的两根为x1和x2，假如2(x1＋x2)＞x1x2，务实数k的取值范围．

10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：（1）|x1－x2|和x1x2；2（2）x13＋x23．

11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．（1）能否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－3成立？若存在，求出k的值；若不存2在，说明原由；（2）求使x1x2－2的值为整数的实数k的整数值；x2x1（3）若k＝－2，x1，试求的值．x2

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初高中连结教材之二次函数

第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

问题1函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在如何的关系？

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为本来的a倍获得．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的张口方向和在同一个坐标系中的张口的大小．问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在如何的关系？

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的张口大小及方向；

h决定了二次函数图象的左右平移，并且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，并且“k正上移，k负下移”．由上边的结论，我们可以获得研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：因为y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bx)＋c＝a(x2＋bx＋b22)＋c－b2aa4a4aa(xb)2b24ac，2a4ay＝ax2所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下平移获得的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)拥有以下性质：（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象张口向上；极点坐标为(b4acb2)，2a,4a对称轴为直线x＝－b；当x＜b时，y跟着x的增大而减小；当x＞b时，y跟着2a2a4acb22ax的增大而增大；当x＝b时，函数取最小值y＝．2a4a,4acb2（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象张口向下；极点坐标为(b)，2a4a对称轴为直线x＝－b；当x＜b时，y跟着x的增大而增大；当x＞b时，y跟着2a2a4acb22ax的增大而减小；当x＝b时，函数取最大值y＝．2a4a文案大全适用文档

上述二次函数的性质可以分别经过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．所以，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形联合的思想方法来解决问题．

y2yA(b,4acb)bx＝－2a4a2a

OxOx

b4acb2bA(,)x＝－2a4a2a图2.2-3图2.2-4

例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的张口方向、对称轴、极点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

说明：从这个例题可以看出，依据配方后获得的性质画函数的图象，可以直接选出要点点，减少了选点的盲目性，使画图更简单、图象更精确．例2把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，获得函数y＝x2的图像，求b，c的值．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要

坚固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反响了两种不一样样的思想方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思想来解

决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思想，将本来的问题等价转变为与之等价的问题来解，拥有计算量小的长处．今后，我们在解题时，可以依据题目的详尽情况，选择合适的方法来解决问题．

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例3已知函数y＝x2，－2≤x≤a，此中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函

数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

说明：在本例中，利用了分类议论的方法，对a的全部可能情况进行议论．其他，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，平时需要借助于函数图象来直观地解决问题．

【当堂反响】1.函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2向平移个单位、再向平移个单位获得。2.二次函数y＝2x2－mx＋n图象的极点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．3.已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的极点在y轴上；当m＝时，函数图象的极点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．4.函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的张口向，对称轴为，极点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y跟着x的增大而减小．5.求以下抛物线的张口方向、对称轴、极点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．

26.已知函数y＝－x－2x＋3，当自变量x在以下取值范围内时，分别求函数的最大值或最小

值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

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第2课时二次函数的三种表示方式

经过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．极点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，此中极点坐标是(－h，k)．

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝b，12＝c，axxa即b＝－(x1＋x2)，c＝x1x2．aa所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2bxc)2－(x1＋x2)x＋1aa=a[xxx]a(x－x1)(x－x2)．

由上边的推导过程可以获得下边结论：2若抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

这样，也就获得了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，此中x1，x2是二次函数图象与x轴交

点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以依据题目所供给的条件，采纳一

般式、极点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1已知某二次函数的最大值为2，图像的极点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点

3，－1），求二次函数的解析式．

说明：在解题时，由最大值确立出极点的纵坐标，再利用极点的地点求出极点坐标，此后设

出二次函数的极点式，最后解决了问题．所以，在解题时，要充分发掘题目所给的条件，并奇妙地利用条件简捷地解决问题．

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例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且极点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及极点的坐标这两个不一样样角度，利用交点式和极点式来解题，在今后的解题过程中，要擅长利用条件，选择合适的方法来解决问题．

例3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

【当堂反响】1.函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是

2.函数y＝－12(x＋1)2＋2的极点坐标是

3.已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析

式可设为y＝a(a≠0)．

4.二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．

5．依据以下条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

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初高中连结教材之