初二奥数培训12几何不等式

2010年初二奥数培训12：几何不等式一、选择题（共5小题，每题3分，满分15分）1．（3分）已知线段a，b，c的长度知足a＜b＜c，那么以a，b，c为边构成三角形的条件是（）A．c﹣a＜bB．2b＜a+cC．c﹣b＞aD．b2＜ac2．（3分）在△ABC中，若∠A＝58°，AB＞BC，则∠B的取值范围是（）A．0°＜∠B＜64°B．58°＜∠B＜64°C．58°＜∠B＜122°D．64°＜∠B＜122°3．（3分）在锐角三角形ABC中，a＝1，b＝3，那么第三边c的变化范围是（）A．2＜c＜4B．2＜c＜3＜D．2＜＜C．2＜cc4．（3分）一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三均分线AD、AE，即∠1＝∠2＝∠3（如图），若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则有（）A．x＞y＞zB．x＝z＞yC．x＝z＜yD．x＜y＝z5．（3分）已知三角形三边长a，b，c都是整数，而且a≤b＜c，若b＝7，那么这样的三角形共有（）个．A．21B．28C．49D．14二、解答题（共10小题，满分105分）6．（10分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角均分线．求证：（1）2AD＜AB+AC；2）∠BAD＞∠DAC；3）AE＜AD．7．（10分）如图，已知△ABC，AB＝AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点．第1页（共16页）求证：∠AEB＞∠AEC．8．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，E、F分别在AB、AC上且AE＝CF．求证：EFBC．9．（10分）如图，已知△ABC中，BC大于其余两边，D、E分别在AB、AC上，连结DE．求证：DE＜BC．10．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC＞∠ACB，BE、CF分别是角均分线．求证：BE＜CF．11．（10分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F．求证：AB+CF＞AC+BE．第2页（共16页）12．（10分）如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD订交于O，且AC⊥BD，OAOC，OB＞OD．求证：BC+AD＞AB+CD．13．（11分）如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB＝AC，DB＞DC且AB+AC＝DB+DC，设AC与DB交于E．求证：AE＞DE．14．（12分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，P为△ABC内一点．求证：PA+PB+PC＞AB+AC．15．（12分）已知△ABC中三边长分别为a，b，c，相应边上的中线长为ma，mb，mc．求证：．第3页（共16页）2010年初二奥数培训12：几何不等式参照答案与试题分析一、选择题（共5小题，每题3分，满分15分）1．（3分）已知线段a，b，c的长度知足a＜b＜c，那么以a，b，c为边构成三角形的条件是（）A．c﹣a＜bB．2b＜a+cC．c﹣b＞aD．b2＜ac【分析】依据三角形的三边关系“随意两边之和＞第三边，随意两边之差＜第三边”，结a＜b＜c，明显只需知足较小的两个数的和＞第三个数或较大的两个数的差＜第三个数即可．依此B、C、D答案均可举出反例．【解答】解：A、c﹣a＜b及已条条件a＜b＜c可推出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，所以可以构成三角形；B、C、D答案均可举出反例：如a＝1，b＝3，c＝6时，知足B和C，但不可以构成三角形；a＝1，b＝2，c＝5时，知足C，但不可以构成三角形．应选：A．【谈论】本题察看了三角形的三边关系．判断能否构成三角形的简单方法是看较小的两个数的和能否＞第三个数或较大的两个数的差能否＜第三个数．2．（3分）在△ABC中，若∠A＝58°，AB＞BC，则∠B的取值范围是（）A．0°＜∠B＜64°B．58°＜∠B＜64°C．58°＜∠B＜122°D．64°＜∠B＜122°【分析】由AB＞BC，利用三角形的性质获得∠C＞∠A＝58°，再利用三角形的内角和定理获得∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣58°﹣∠B，所以180°﹣58°﹣∠B＞58°，解得∠B＜64°，从而获得∠B的范围为0°＜∠B＜64°．【解答】解：∵AB＞BC，∴∠C＞∠A＝58°，而∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣58°﹣∠B＞58°，解得∠B＜64°，所以∠B的范围为0°＜∠B＜64°．第4页（共16页）应选：A．【谈论】本题察看了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也察看了三角形中大边对大角的性质．3．（3分）在锐角三角形ABC中，a＝1，b＝3，那么第三边c的变化范围是（）A．2＜c＜4B．2＜c＜3＜D．2＜＜C．2＜cc【分析】题中已知△ABC是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而没法确立边之间的关系，从而可以分两种状况进行分析，从而确立第三边c的变化范围．【解答】解：①∵当∠C是最大角时，有∠C＜90°＜∴c∴c＜②当∠B是最大角时，有∠B＜90°22b＜a+c9＜1+c2c＞2∴第三边c的变化范围：2＜c＜应选：D．【谈论】本题主要察看学生对三角形三边关系的理解及运用，重点是确立最大角．4．（3分）一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三均分线AD、AE，即∠1＝∠2＝∠3（如图），若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则有（）A．x＞y＞zB．x＝z＞yC．x＝z＜yD．x＜y＝z【分析】第一依据边角边定理，判断△ABD≌△ACE，依据全等三角形的性质定理可知BD＝EC，即x＝z．再依据三角形的外角性质与等腰三角形的性质，可得AB＞AE．从而获得BD＞DE即x＞y．问题得解．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形∴∠B＝∠C第5页（共16页）又∵∠1＝∠2，∠ADE＝∠B+∠1，∠AED＝∠C+∠3∴∠ADE＝∠AEDAD＝AE在△ABD与△ACE中AD＝AE，∠1＝∠3，AB＝AC∴△ABD≌△ACEBD＝EC，即x＝z又∵∠AEB＝∠C+∠3＝∠B+∠3＞∠BAB＞AE又∵∠1＝∠2所以BD＞DE即x＞y，所以x＝z＞y应选：B．【谈论】本题察看全等三角形的性质与判断、三角形三边关系、等腰三角形的性质．本题解决的重点是对三角形有关知识的综合运用能力．5．（3分）已知三角形三边长a，b，c都是整数，而且a≤b＜c，若b＝7，那么这样的三角形共有（）个．A．21B．28C．49D．14【分析】依据已知条件第一可以获得a的可能值有1，2，3，4，5，6，7，再依据三角形的三边关系可以获得c的值．【解答】解：依据已知，得的可能值有1，2，3，4，5，6，7．依据三角形的三边关系，合适a＝1时，则c不存在；a＝2时，则c＝8；a＝3时，则c＝8，9；a＝4时，则c＝8，9，10；a＝5时，则c＝8，9，10，11；a＝6时，则c＝8，9，10，11，12；a＝7时，则c＝8，9，10，11，12，13．则这样的三角形有21个．第6页（共16页）应选：A．【谈论】本题主要察看了三角形的三边关系，解题重点是由a的可能值逐渐推理分析．二、解答题（共10小题，满分105分）6．（10分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角均分线．求证：（1）2AD＜AB+AC；（2）∠BAD＞∠DAC；（3）AE＜AD．【分析】（1）可延伸AD到F，使DF＝AD，在△ABF中，由三边关系即可得出结论；2）由△ADC≌△FDB，得∠CAD＝∠F，在△ABF中，由边的大小关系即可得出角之间的关系；3）同（2），由角的关系亦可求解边的大小．【解答】证明：延伸AD到F，使DF＝AD，连结BF（如图），易证△ADC≌△FDB，所以AC＝BF，1）在△ABF中，AB+BF＞AD+DF，所以2AD＜AB+AC；2）由于△ADC≌△FDB，所以∠DAC＝∠F，由于AB＞AC，所以AB＞BF，所以∠F＞∠BAD，所以∠DAC＜∠BAD，即∠BAD＞∠DAC；（3）由（2），∠BAD＜∠DAC及∠BAE＝∠EAC∠BAC，所以∠BAD＜∠EAC，由于AB＞AC所以∠C＞∠B，第7页（共16页）所以∠BAD+∠B＜∠EAC+∠C，所以∠ADE＜∠AED，所以AE＜AD．【谈论】本题主要察看了全等三角形的判断及性质以及三角形三边关系定理，可以娴熟掌握．7．（10分）如图，已知△ABC，AB＝AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点．求证：∠AEB＞∠AEC．【分析】依据等腰三角形的性质可获得几组相等的角，再依据E在△ABD内可获得∠BAE＜∠BAD，从而可推出∠BAE＜∠BAD＜∠CAE，依据大角对大边可获得BE＜EC，再根据大边对大角可获得∠2＜∠1，即可推出∠3＜∠4，最后依据三角形内角和定理不难证得结论．【解答】证明：∵AB＝AC，AD为中线，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，E在△ABD内，∴∠BAE＜∠BAD，∴∠BAE＜∠BAD＜∠CAE，∴BE＜EC，∴∠2＜∠1，∴∠ABC﹣∠1＜∠ACB﹣∠2，第8页（共16页）∴∠3＜∠4，180°﹣∠BAE﹣∠3＞180°﹣∠CAE﹣∠4，∴∠AEB＞∠AEC．【谈论】本题主要察看等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．8．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，E、F分别在AB、AC上且AE＝CF．求证：EFBC．【分析】可过E作ED平行且等于BC，连结DF，DC，以以下列图所示，再由平行线的性质及全等三角形的性质，在△EFD中即可得出结论．【解答】证明：过E作ED平行且等于BC，连结DF，DC（如图），BCDE是平行四边形，DC平行且等于BE，∴∠1＝∠A，∵AB＝AC，AE＝FC，BE＝AF＝DC，∴△AEF≌△CFD，EF＝DF，在△EFD中，EF+DF＞DE，2EF＞BC，即EF＞BC，当E、F为AB、AC中点时，EFBC，第9页（共16页）EFBC．【谈论】本题主要察看经过协助线作出平行四边形，从而利用平行四边形的性质、全等三角形及三角形的三边关系，从而得出结论．9．（10分）如图，已知△ABC中，BC大于其余两边，D、E分别在AB、AC上，连结DE．求证：DE＜BC．【分析】连结BE，依据大边对大角可获得∠A＞∠ACB，∠A＞∠ABC，从而可推出∠BDE＞∠A＞∠ABC＞∠DBE，从而可获得BE＞DE，同理可得BC＞BE，从而不难证得结论．【解答】证明：连结BE．BC＞AB，BC＞AC，∴∠A＞∠ACB，∠A＞∠ABC，∴∠BDE＞∠A＞∠ABC＞∠DBE，BE＞DE，∵∠BEC＞∠A＞∠C，BC＞BE，DE＜BC．【谈论】本题主要察看学生对三角形三边关系的理解及运用能力．10．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC＞∠ACB，BE、CF分别是角均分线．求证：BE＜CF．第10页（共16页）【分析】在∠ABE内部以BE为一边作∠GBE＝∠ACF，GB交AC于G，在GC上截以CH＝BG，过H作HK∥BG交CF于K，从而结构出△BGE≌△CHK，再利用已知条件即可解答．【解答】证明：∵∠ABC＞∠ACB，∴∠ABE＞∠ACF，∠BEC＞∠FCB，在∠ABE内部以BE为一边作∠GBE＝∠ACF，GB交AC于G，在△GBC中，∠GBC＞∠GCB，GC＞GB，GC上截以CH＝BG，过H作HK∥BG交CF于K，则∠BGE＝∠KHC，∴△BGE≌△CHK（ASA），∴BE＝CK＜CF．【谈论】本题察看全等三角形的判断及全等三角形的性质，有必定难度，解答本题的重点是结构全等形．11．（10分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F．求证：AB+CF＞AC+BE．【分析】可在AB上截取AC′＝AC，过C′作C′F′⊥AC于F′，则可得△ACF≌△AC′F′，得出C′F′＝CF，再C′作C′D⊥BE交BE于D，此后在三角形中利用三第11页（共16页）角形三边关系从而即可得出结论．【解答】证明：在AB上截取AC′＝AC，C′作C′F′⊥AC于F′（如图）易证△ACF≌△AC′F′（AAS）所以C′F′＝CF．C′作C′D⊥BE交BE于D，则BD＝BE﹣DE＝BE﹣C′F′，所以BD＝BE﹣CF，在直角三角形BC′D中，BC′＞BD，所以AB﹣AC′＝AB﹣AC＞BE﹣CF，所以AB+CF＞AC+BE．【谈论】本题主要察看了全等三角形的判断及性质以及三角形的三边关系问题，可以娴熟掌握．12．（10分）如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD订交于O，且AC⊥BD，OAOC，OB＞OD．求证：BC+AD＞AB+CD．【分析】可经过作协助线将不一样样线段转变到一个或两个三角形中，再经过线段之间的转变从而最后得出结论．【解答】证明：在OA上截取OC′＝OC，在OB上截取OD′＝OD，连结C′D′，AD′，BC′，设BC′、AD′交于E（如图），第12页（共16页）易证△COD≌△C′OD′（SAS），所以CD＝C′D′，易证△AOD≌△AOD′，△COB≌△C′OB（SAS），所以AD＝AD′，CB＝C′B，在△C′D′E中，C′E+D′E＞C′D′①在△ABE中，AE+BE＞AB②+②得AE+D′E+BE+C′E＞AB+C′D′，所以AD′+BC′＞AB+CD，所以AD+BC＞AB+CD．【谈论】本题主要察看了全等三角形的判断及性质以及三角形的三边关系问题，可以娴熟掌握．13．（11分）如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB＝AC，DB＞DC且AB+AC＝DB+DC，设AC与DB交于E．求证：AE＞DE．【分析】由已知可得BD＞AC，在BD上截取DF＝AC，连结AF、AD，依据三角形三边关系可得AF＞CD，再由在两个三角形中，假如有两对应边分别相等，那么对边较大的，其夹角也较大，可得∠1＞∠2，再依据大角对大边即可证明AE＞DE．【解答】证明：由已知可得2BD＞BD+DC＝AB+AC＝2AC，BD＞AC，BD上截取DF＝AC，连结AF、AD（如图）∵BD+DC＝2AC，∴DC+BF＝AB，第13页（共16页）∴在△BAF中，AF＞AB﹣BF＝DC．在△BAD与△ADF中，AD＝AD，AC＝DF，AF＞CD，∴∠1＞∠2，AE＞DE．【谈论】本题察看了三角形三边关系．解题的