2023年中考数学一轮复习考点过关：二次函数最值问题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页2023年中考数学一轮复习考点过关二次函数最值问题1.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2.已知点A(2，－3)是二次函数图象上的点．(1)求二次函数图象的顶点坐标：(2)当时，求函数的最大值与最小值的差：(3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．3.如图，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10m），现有篱笆长24m．设花圃的宽AB为xm，面积为．(1)如果要围成面积为的花圃，AB长是多少米？(2)能围成面积比更大的花园吗？如果能，请求出花圃的最大面积，并给出设计方案．如果不能，请说明理由．4.金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克14元，销售价格不低于成本，且不超过25元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如表：售价x（元/千克）141618…销售量y（千克）800700600…(1)求一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式并写出x的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利2400元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利w最大？最大利润为多少？5.如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B坐标为，点D为线段OB上一点，点E为抛物线上一动点．(1)求b的值；(2)点D坐标为（3，0），点E在第一象限的抛物线上，设的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，点D坐标为（4，0），是否存在点E，使，若存在，请求出点E坐标，若不存在，说明理由．6.如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E．(1)求抛物线的解析式：(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值；(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.在平面直角坐标系中，抛物线：的对称轴为．(1)求的值；(2)若当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求c的取值范围；(3)将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，求抛物线与轴交点的纵坐标的最小值．8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）当时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当时，y的最大值是m，最小值是n，且，求t的值．9.党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点P为“高质量发展点”．(1)若点是反比例函数（k为常数，）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；(2)若函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；(3)若二次函数（a，b是常数，）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，w有最大值，求t的值．10.已知y关于x的二次函数，点P为抛物线顶点．(1)若抛物线与y轴的交点坐标为点，求该二次函数的表达式；(2)当P点的纵坐标取最大值时，，此时P点坐标为；(3)在（2）的条件下，当，函数有最小值9，求n的值．11.在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．(1)若，时，用含的式子表示；(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式12.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2＋2是有上界函数，其上确界是2(1)函数①y＝x2＋2x＋1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；(2)如果函数y＝﹣x＋2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a＋1，求a的取值范围；(3)如果函数y＝x2﹣2ax＋2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．13.已知二次函数，其中．(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．14.如图，抛物线．与x轴交于A，B两点，与y轴交于，直线经过点A且与抛物线交于另一点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若P是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，，求的面积的最大值；(3)在第（2）问的条件下，求点P到直线的最大值．15.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－＋x＋与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使BE的值最小，求点P的坐标和BE的最小值；（3）如图3，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－＋x＋沿x轴正方向平移得到新抛物线，y′经过点D，的顶点为F．在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，P(3,),△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴当t=3时，P(3,),△PAB的面积有最大值；（3）△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，点P（m，-m2+2m+6），函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，则PE=|2m-4|，即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）故点P的坐标为：（4，6）或（5-，3-5）．2.【答案】(1)(3，－4)(2)当－1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16(3)t＝1或2【详解】（1）解：∵已知A(2，-3)是二次函数图象上的点∴解得∴此二次函数的解析式为：∴顶点坐标为（3，－4）；（2）∵顶点坐标为（3，－4），∴当x＝3时，y最小值＝－4，当x＝－1时，y最大值＝12∴当－1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，当x＝t时，y最大值＝t2-6t+5当x＝t+3时，y最小值＝（t+3）2-6（t+3）+5＝t2-4，t2-6t+5-（t2-4）=4﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9=4，解得（不合题意，舍去），②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴y最小值＝－4，i）当0≤t≤时，在x＝t时，y最大值＝t2-6t+5，∴t2-6t+5－（－4）=4，解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2－4，∴t2－4－（－4）=4，∴解得t1＝2，t2＝－2（不合题意，舍去），③当t>3时，y随着x的增大而增大，当x＝t时，y最小值=t2-6t+5，当x＝t+3时，y最大值＝t2-4，∴t2-4-（t2-6t+5）=4解得（不合题意，舍去），综上所述，t＝1或2．3.【答案】(1)4(2)能，最大面积是，此时花圃的长为10米，宽为3.5米【分析】（1）由，然后求出方程的解即可；（2）把解析式化成顶点式，求出顶点的坐标即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意，设花圃的宽为m，面积为．∴，∴解得：，；∵，∴，∴；∴AB长是4m；（2）解：∵，又∵，当时，，∴能围成面积比更大的花圃，最大面积为，方案：∵，∴花圃的长为10m，宽为3.5m，花圃的面积最大．4.【答案】(1)(2)18元(3)当时，w有最大值3200元．【详解】（1）解：设一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式为由题意得：，解得：所以一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式为．（2）解：设这天该大米的售价为元由题意可得：解得或（舍）．∴这天该大米的售价为18元．（3）解：由题意可得：有机大米一天的获利w（元）与该天的售价x（元/千克）的函数关系式为：∴当时，y随x的增大而增大．∴当时，w有最大值3200元．5.【答案】(1)．(2)的最大值为．(3)存在这样的点，点坐标为：和(．【分析】（1）题目中给出了点的坐标，代入解析式中，即可求出的值；（2）题中要求的最大值，可以设E点的横坐标为，用含的式子表示出纵坐标，连接，过分别作轴、轴的垂线、，，用含的式子表示，然后求出这个式子的最大值，即可得到对应的值，进而求出的值．（3）先假设存在这样的点，作的角平分线交轴于点，过作∥，交抛物线于点，点就是要求的点．这时，，如果知道的长度，就可以求出的长度，即可得到E点的纵坐标，然后代入解析式，即可求出横坐标．根据题目条件，知道、的长，作与，，利用面积可以求出的长度，进而求出的长度；根据，知道的长度，即可求出的长度，进而求出点横坐标，从而求解．注意当点在轴下方时，也可以用同样的方法求出点的坐标．【详解】（1）解：将代入解析式可得：，解得．（2）连接，过分别作轴、轴的垂线、，设点坐标则：，化简得：当时，S取最大值，最大值为6．（3）假设存在这样的点，作的角平分线交轴于点，过作，交抛物线于点，点就是要求的点．作轴于点，作于，当点在第二象限时，设，∵，，为角平分线，∴在中，∴∵，∴∵，∴解得：，由于E点在第二象限，所以，∴当点E在第四象限时，有，此时点横坐标为，，则，有，化简得解得，，由于在第三象限，所以，此时E点坐标为(∴存在E点，E点坐标为和(．6.【答案】(1)(2)(3)存在，，，，，【分析】（1）求出A点坐标，把A、C坐标代入解析式计算即可；（2）连接OC，交对称于点Q，证明四边形AOQP是平行四边形，即可说明若使的值为最小，其为量小，最小值为线段OC长；（3）由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形只要说明△AME是等腰三角形即可．【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，，∴，，∴，∴，将点A，C坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）连接OC，交对称于点Q∵轴，∴，∵，∴四边形AOQP是平行四边形，∴，∴若使的值为最小，其为量小．∵E，C关于对称轴对称，∴，∴，此时的值最小，最小值为线段OC长．∵，∴，∴的最小值为，即的最小值为．（3）设∵E，C关于对称轴对称，，∴，∵∴∵由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形∴△AME是等腰三角形当时，，解得，此时M点坐标为，当时，，解得，此时M点坐标为，当时，，解得，此时M点坐标为综上所述，存在点M，，，，，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形7.【答案】(1)(2)或．(3)【分析】（1）根据对称轴为与系数的关系即可进行求解；（2）将该抛物想的表达式改写为顶点式：，画出函数的图像，结合图像即可得出c的取值范围；（3）根据二次函数的平移规律，将的函数解析式表示出来，进而表示出其顶点坐标，再将顶点坐标代入得出m和c之间的关系式，最后将代入即可求出其与y轴的纵坐标．【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为，∴，解得：．（2）由（1）可知，，∴，如图，画出抛物线的图像，由图可知，①当时，与x轴只有一个交点，解得：②当时，将的图像向下平移的距离大于一个单位长度，小于或等于4个单位长度时时，平移后的函数图像在x轴上时只有一个交点．∴，解得：．综上：或．（3）由（2）可得，∴：，∴：，∴的定点坐标为：，∵抛物线的顶点在直线上，∴把点代入得：，整理得：，把代入：得：∵∴，∴当时，y有最小值．∴抛物线与轴交点的纵坐标的最小值为．8.【答案】（1）（1，-4）；（2）1；（3）-1或2【分析】（1）根据对称轴可得a与b间的关系b=-2a，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a为负的情况，所以a为正．再由于x轴上-2与1的距离大于3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x=-2处取得最大值，从而可求得a的值．（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t的值．【详解】解：（1）∵对称轴是直线，∴．∴．∴．∴顶点坐标为．（2）若a<0，则抛物线的开口向下，从而y有最大值4∵当时，y的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x=1，∴函数此时在时取得最大值5，这与y有最大值4矛盾，从而a>0．∴抛物线的顶点为图象的最低点．∵1-（-2）>3-1∴当时，．代入解析式，得．（3）①当时，此时0≤t≤1，∴，函数的最大值在t+1或t处取得，即或∴m的最大值为．此时．不符合题意，舍去．②当，即时，．∵，∴．③当时，同理可得．综上所述，或．9.【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）将代入得到关于的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于的另一个方程，解方程组即可；（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意可得含的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应，即可求出的取值范围；（3）设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得含的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即，得出的关系式，从而由变形为关于的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．【详解】（1）解：将代入，得：即，又因为是“高质量发展点”，故，解方程组得：或，则这个反比例函数的解析式为或．（2）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意将代入得：，由函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程有两个不相等的实根，即解得：，且由韦达定理可知的两根之和为2，两根之积为，又因为这两点都在第一象限可得：，解得：，综上可得：．（3）解：设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得，整理得，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知方程两根相等，即，变形得：，因为，所以，故由抛物线性质：开口向下，对称轴为，顶点，当时，w有最大值，分情况讨论最值情况：（1）当即时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，故当时w有最大值，即，化简得：，得：，故舍去，（2）当且，即时，函数的自变量取值范围包括了顶点，即当，w有最大值，解得：，（3）时函数自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时w最大值当时取得，即：，整理得：，解得，故均不合要求，此时无解，综上可得：或．10.【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）将一般式转化为顶点式，再利用配方法求纵坐标的最值即可得解；（3），函数有最小值9，判断与对称轴的位置关系，再根据二次函数的图象和性质，进行求解即可．【详解】（1）解：抛物线与y轴的交点坐标为点，则：，解得：，∴；（2）解：；∴∵，∴时，P点的纵坐标取最大值：5，∴；故答案为：，；（3）解：∵，∴；∵，对称轴为，∴抛物线开口向上，在对称轴的左侧，随值的增大而减小，在对称轴的右侧，随值的增大而增大，∵当，函数有最小值9，，∴在对称轴的同侧；①在对称轴的左侧，即：时，当时，函数有最小值：，解得：或（舍）；②在对称轴的右侧，即：，时，当时，函数有最小值：，解得：或（舍）；综上：当或时，函数有最小值9．11.【答案】(1)(2)E点坐标为，弧长为(3)【分析】（1）将，代入，计算求解即可；（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE=，根据求解即可；（3），知，，最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．【详解】（1）解：将与代入得∴用含的式子表示为．（2）解：将与代入得∴∴点坐标分别为如图，作，连接∴，∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即∵∴∴∴∵，，∴∴点坐标为∵∴∴∴AE=∴的坐标为，的长为．（3）解：由题意知∵，∴∵最小时，有解得∴∴．12.【答案】(1)②，1；(2)-1≤a＜1；(3)a的值为2.4．【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；（2）由题意可知：-b+2≤y≤-a+2，再由-a+2=b，-b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围；（3）当a≤1时，27-10a=3，可得a=2.4（舍）；当a≥5时，3-2a=3，可得a=0（舍）；当1＜a≤3时，27-10a=3，可得a=2.4；当3＜a＜5时，3-2a=3，可得a=0．【详解】（1）①y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，∴①无上确界；②y=2x-3（x≤2），∴y≤1，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1；（2）∵y=-x+2，y随x值的增大而减小，∴当a≤x≤b时，-b+2≤y≤-a+2，∵上确界是b，∴-a+2=b，∵函数的最小值不超过2a+1，∴-b+2≤2a+1，∴a≥-1，∵b＞a，∴-a+2＞a，∴a＜1，∴a的取值范围为：-1≤a＜1；（3）y=x2-2ax+2的对称轴为直线x=a，当a≤1时，y的最大值为25-10a+2=27-10a，∵3为上确界，∴27-10a=3，∴a=2.4（舍）；当a≥5时，y的最大值为1-2a+2=3-2a，∵3为上确界，∴3-2a=3，∴a=0（舍）；当1＜a≤3时，y的最大值为25-10a+2=27-10a，∵3为上确界，∴27-10a=3，∴a=2.4；当3＜a＜5时，y的最大值为1-2a+2=3-2a，∵3为上确界，∴3-2a=3，∴a=0，综上所述：a的值为2.4．13.【答案】(1)(2)见解析(3)最大值为【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．【详解】（1）解：将代入，解得．由，则符合题意，∴，∴．（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函数的顶点在第三象限．（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为当时，，∴．将代入，解得．∵在轴的负半轴上，∴．∴．过点作，垂足为，∵，∴．在中，,∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．14.【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；（2）联立抛物线和一次函数的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作轴，交于E，设，则，求的长，根据三角形的面积公式可得的面积，配方后可得结论；（3）由前两问可知，，再根据勾股定理得：，设点P到直线的距离为h，再利用等面积法即可求解．【详解】（1）解：∵直线经过点A，∴令，则，∴，∴，将，代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：，解得：，，∴，过点P作