2022年湖南省常德市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022年湖南省常德市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.设方程y''-2y'-3y=f(x)有特解y*，则它的通解为A.y=C1e-x+C2e3x+y*

B.y=C1e-x+C2e3x

C.y=C1xe-x+C2e3x+y*

D.y=C1ex+C2e-3x+y*

2.微分方程y''-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c

3.

4.当x→0时，3x是x的（）．

A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D.低阶无穷小量

5.

6.

7.

8.

9.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)

10.

11.A.0B.1C.2D.不存在

12.

13.

14.滑轮半径，一0．2m，可绕水平轴0转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，如图所示。已知滑轮绕轴0的转动规律为φ=0．15t3rad，其中t单位为s。当t-2s时，轮缘上M点速度、加速度和物体A的速度、加速度计算不正确的是()。

A.M点的速度为VM=0．36m／s

B.M点的加速度为aM=0.648m／s2

C.物体A的速度为VA=0．36m／s

D.物体A点的加速度为aA=0.36m／s2

15.若，则下列命题中正确的有()。A.

B.

C.

D.

16.

17.若收敛，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

18.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

19.某技术专家，原来从事专业工作，业务精湛，绩效显著，近来被提拔到所在科室负责人的岗位。随着工作性质的转变，他今后应当注意把自己的工作重点调整到（）

A.放弃技术工作，全力以赴，抓好管理和领导工作

B.重点仍以技术工作为主，以自身为榜样带动下级

C.以抓管理工作为主，同时参与部分技术工作，以增强与下级的沟通和了解

D.在抓好技术工作的同时，做好管理工作

20.已知斜齿轮上A点受到另一齿轮对它作用的捏合力Fn，Fn沿齿廓在接触处的公法线方向，且垂直于过A点的齿面的切面，如图所示，α为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。下列关于一些力的计算有误的是()。

A.圆周力FT=Fncosαcosβ

B.径向力Fa=Fncosαcosβ

C.轴向力Fr=Fncosα

D.轴向力Fr=Fnsinα

21.设函数y=ex-2,则dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx

22.

23.

24.

25.

26.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

27.

28.

29.

30.A.sin(2x－1)＋C

B.

C.－sin(2x－1)＋C

D.

31.

32.

33.A.0B.1/2C.1D.2

34.

35.

36.设函数在x=0处连续，则等于()。A.2B.1/2C.1D.-2

37.

38.级数()。A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关39.设f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是()A.A.

B.

C.

D.

40.

41.微分方程y＋y＝0的通解为（）．A.A.

B.

C.

D.

42.

43.

44.A.3x2+C

B.

C.x3+C

D.

45.则f(x)间断点是x=（）。A.2B.1C.0D.-146.设函数z=sin(xy2)，则等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

47.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

48.设z=x3-3x-y，则它在点(1，0)处

A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.无法判定

49.当x→0时,与x等价的无穷小量是

A.A.

B.ln(1+x)

C.C.

D.x2(x+1)

50.二、填空题(20题)51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。

64.

65.广义积分．66.67.68.设y＝3＋cosx，则y＝．

69.

70.设y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________。

三、计算题(20题)71.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．72.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．73.求曲线在点(1，3)处的切线方程．74.

75.

76.77.

78.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

79.

80.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

81.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

82.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

83.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．84.求微分方程的通解．85.86.证明：87.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．88.

89.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．90.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．四、解答题(10题)91.

92.

93.94.求由曲线y=3-x2与y=2x，y轴所围成的平面图形的面积及该封闭图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．

95.

96.设y=ln(1+x2)，求dy。

97.

98.求函数y=xex的极小值点与极小值。

99.

100.五、高等数学(0题)101.曲线y=x3一12x+1在区间(0，2)内()。

A.凸且单增B.凹且单减C.凸且单增D.凹且单减六、解答题(0题)102.已知曲线C的方程为y=3x2，直线ι的方程为y=6x。求由曲线C与直线ι围成的平面图形的面积S。

参考答案

1.A考虑对应的齐次方程y''-2y'-3y==0的通解.特征方程为r2-2r-3=0,所以r1=-1，r2=3，所以y''-2y'-3y==0的通解为，所以原方程的通解为y=C1e-x+C2e3x+y*.

2.C本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点。

因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

3.A解析：

4.C本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

应依定义考察

由此可知，当x→0时，3x是x的同阶无穷小量，但不是等价无穷小量，故知应选C．

本题应明确的是：考察当x→x0时无穷小量β与无穷小量α的阶的关系时，要判定极限

这里是以α为“基本量”，考生要特别注意此点，才能避免错误．

5.C

6.B

7.A

8.A

9.C

10.A解析：

11.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x＝1为f(x)的分段点，且在x＝1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

12.C

13.D

14.B

15.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义。

16.D

17.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有，可知D正确．而A，B，C都不正确．

本题常有考生选取C，这是由于考生将级数收敛的定义存在，其中误认作是un，这属于概念不清楚而导致的错误．

18.C

19.C

20.C

21.B

22.A

23.D解析：

24.B

25.A解析：

26.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

27.D

28.C解析：

29.D

30.B本题考查的知识点为不定积分换元积分法。

因此选B。

31.C

32.B

33.D本题考查了二元函数的偏导数的知识点。

34.C解析：

35.C

36.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。由于f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。

37.B

38.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛。

由于的p级数，可知为收敛级数。

可知收敛，所给级数绝对收敛，故应选A。

39.B本题考查的知识点为：若f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用．

注意到A左端为定积分，定积分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零．因此A不正确．

由可变上限积分求导公式可知B正确．C、D都不正确．

40.C

41.D本题考查的知识点为－阶微分方程的求解．

可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作－阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．

解法1将方程认作可分离变量方程．

解法2将方程认作－阶线性微分方程．由通解公式可得

解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：

特征方程为r＋1＝0，

特征根为r＝－1，

42.B

43.B

44.B

45.Df(x)为分式，当X=-l时，分母x+1=0，分式没有意义，因此点x=-1为f(x)的间断点，故选D。

46.D本题考查的知识点为偏导数的运算。由z=sin(xy2)，知可知应选D。

47.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

48.C

49.B本题考查了等价无穷小量的知识点

50.D

51.

解析：

52.

53.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0解析：

54.11解析：

55.-2y

56.2/5

57.

58.

59.

60.y=-x+1

61.11解析：

62.163.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。

64.2x65.1本题考查的知识点为广义积分，应依广义积分定义求解．

66.1本题考查了幂级数的收敛半径的知识点。

67.e268.－sinX．

本题考查的知识点为导数运算．

69.

70.y=f(x0)y=f(x)在点x0处可导，且y=f(x)有极小值f(x0)，这意味着x0为f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有f"(x0)=0，因此曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)为所求切线方程。71.函数的定义域为

注意

72.

73.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

74.

75.

76.

77.由一阶线性微分方程通解公式有

78.

79.

80.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

81.由等价无穷小量的定义可知

82.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

83.

列表：

说明

84.

85.

86.

87.由二重积分物理意义知

88.

则

89.

90.

91.

92.

解法1利用等价无穷小量代换．

解法2利用洛必达法则．

93.94.所给曲线围成的