上海浦西中学2023年高二数学理期末试题含解析

上海浦西中学2023年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法共

（

）种。A

27

B

48

C

21

D

24参考答案：B略2.已知点（m,n）在直线上，则的最小值为（

）

A．1

B.2

C.

D.4参考答案：D略3.如图，平面四边形ABCD中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（

）A．

B．3πC．

D．2π参考答案：C由题意平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，可知，所以是外接球的直径，所以，球的半径为；所以球的体积为，故选C.

4.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是

(

)A．4

B.6

C.8

D.12参考答案：B略5.设函数在处存在导数，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】通过变形，结合导数的定义可以直接得出答案.【详解】.选A.【点睛】本题考查了导数的定义，适当的变形是解题的关键.6.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（

）（A）30人，30人，30人

（B）30人，45人，15人（C）20人，30人，40人

（D）30人，50人，10人参考答案：B7.已知椭圆的离心率为，则b等于（

）.A.3

B.

C.

D.参考答案：B8.已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝

3x＋2上”是“{an}为等差数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】不等式等价于或分别解不等式组后，取并集可求得的取值范围.【详解】或，解得：或，即，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对进行分类讨论，使取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.10.离散型随机变量的分布列如下则等于（

）A、0.1

B、0.24

C、0.01

D、0.71参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆的焦点分别为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么

。参考答案：12.执行右侧的程序框图，若输入n=3，则输出T=

。参考答案：2013.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为

。参考答案：略14.已知，，则函数在上为增函数的概率是

.参考答案：15.如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为_______；二面角的大小为_______.参考答案：16.复数z=（i为虚数单位）是实数，则实数a=_________．参考答案：-3略17.已知椭圆C:的左焦点为（-1,0），又点（0,1）在椭圆C上，则椭圆C的方程为__________.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点M到点的距离比到y轴的距离大1.（1）求点M的轨迹M的方程；（2）设直线l：，交轨迹C于A，B两点，O为坐标原点，试在轨迹C的AOB部分上求一点P，使得△ABP的面积最大，并求其最大值.参考答案：（1）因为点M到点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离……………2分由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴设轨迹C的方程为：，

轨迹C方程为：.或……………5分（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,P（x0,y0）直线l化成斜截式为当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大……………6分由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式：，所以

………7分，解得，所以P点坐标……………8分P点到l的距离……………9分A，B两点满足方程组

化简得.x1,x2

为该方程的根.

所以 …………11分 ……………12分19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小.参考答案：（1）20;（2）【分析】（1）三棱柱的体积，由此能求出结果；（2）连结是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小.【详解】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V＝S△ABC×AA120．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点睛】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且面PDC⊥面ABCD,E为PC中点。（1）.求证：PA∥平BDE；（2）.求证：平面BDE⊥平面PBC；（3）.求二面角D-PB-C的正切值。参考答案：略21.已知集合M={x|x2＜（a+1）x}，N={x|x2+2x﹣3≤0}，若M?N，求实数a的取值范围．参考答案：考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：需要分类讨论：a+1＜0、a+1=0、a+1＞0三种情况下的集合M是否符合题意，由此求得a的取值范围．解答： 解：由已知得N={x|﹣3≤x≤1}，M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，由已知M?N，得①当a+1＜0即a＜﹣1时，集合M={x|a+1＜x＜0}．要使M?N成立，只需﹣3≤a+1＜0，解得﹣4≤a＜﹣1；②当a+1=0即a=﹣1时，M=?，显然有M?N，所以a=﹣1符合题意．③当a+1＞0即a＞﹣1时，集合M={x|0＜x＜a+1}．要使M?N成立，只需0＜a+1≤1，解得﹣1＜a≤0，综上所述，所以a的取值范围是[﹣4，0]．点评：本题考查集合的包含关系判断及应用，综合性强，具有一定的难度．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．22.已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求h（x）的单调区间；（3）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案：【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求导数，利用导数的正负，求h（x）的单调区间；（3）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，确定当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，即可证明结论．【解答】解：（1）f（x）=的导数为=，可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率为0，切点为（1，），可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y=；（2）h（x）=1﹣x﹣xlnx求导数得h′（x）=﹣1﹣（1+lnx），x∈（0，+∞），令h′（x）=﹣2﹣lnx=0，x∈（0，+∞），可得x=e﹣2，当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0；当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0．因此h（x）的单调递增区间为（0，e﹣2），单调递减区间为（e﹣2，+∞）；（2）证明：因为g（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求导得