上海市第八中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

上海市第八中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0 B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0 D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，结合函数的单调性，从而可判断当x＞1时，f（x）＞0，结合f（x）为减函数可得结论．【解答】解：∵+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立，故选：B．2.已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(

)．A．－2

B．2

C．－98D．98参考答案：A3.如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（

）

A． B．

C． D．2参考答案：B由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，故，，，，，∴，，，∴该多面体的侧面最大面积为．故选B．4.已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（

）A.，

B.，C.，

D.，参考答案：B由题设知的周期，所以，又的图象关于点对称，从而，即,因为，所以.故.再由，得，故选B.点睛：已知函数的性质求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5.设等比数列的前n项和为，若则A．31

B．32

C．63

D．64参考答案：C略6.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033 B.1053C.1073 D.1093参考答案：D试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.7.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像

（

）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：D8.已知集合，则集合等于（

）A. B. C. D.参考答案：C略9.设a,b,c是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.已知α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,则下列四个命题中不一定成立的是 A.若a,b相交,则a,b,c三线共点 B.若a,b平行,则a,b,c两两平行C.若a,b垂直,则a,b,c两两垂直 D.若α⊥γ,β⊥γ,则a⊥γ参考答案：C 本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等,意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力.解题时,对选项逐个验证,可以借助线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理与性质定理等.空间中点、线、面的位置关系是客观题的常考题,借助几何模型,强化空间想象能力,完善逻辑推理,是解题成功的关键. 选项A显然正确;对于选项B,三个平面两两相交,若a,b平行,则a,b,c两两平行;对于选项D,如图,在平面α内作直线m⊥b,在平面β内作直线n⊥c,因为α⊥γ,β⊥γ,所以m⊥γ,n⊥γ,所以m∥n.又m?α,n?α,所以n∥α,又n?β,α∩β=a,所以n∥a.又n⊥γ,所以a⊥γ.故选C. 10.如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（

）

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集集合则

▲

.参考答案：略12.已知定义在实数集R上的函数满足=1，且的导数在R上恒有<，则不等式的解集为

参考答案：∪13.已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为

；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为

．参考答案：，【考点】分段函数的应用．【分析】（i）化为分段函数，再解不等式即可，（ii）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象，利用图象确定有无交点．【解答】解：（i）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|﹣x=，∵f（x）＞0，∴或，解得x＞1或x＜，故不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）（ii）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：，14.如图，的外接圆的切线与的延长线相交于点，的平分线与相交于点，若，，则______．参考答案：4略15.一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表面的直角三角形的个数为

个．参考答案：4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得：原几何体为三棱锥P﹣ABC：PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．即可得出答案．【解答】解：由三视图可得：原几何体为三棱锥P﹣ABC：PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．因此表面4个三角形都为直角三角形．故答案为：4．16.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k(其中k?{5,6,7,8,9})的概率是，则k=

▲

．参考答案：717.设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且满足，若，则的值为

.参考答案：设，.因为抛物线x2=4y的焦点为，准线为，所以由，得，所以，x12=4y1=2.由得即因为x22=4y2，所以.解得或（舍）.注：若知抛物线的焦点弦的如下性质：，可更快地求出结果。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，方程有实根，求实数的最大值.参考答案：解：（I）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立

?当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意

?当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立

令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以因为，所以.综上所述，a的取值范围为

19.为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议。为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图。（已知高一年级共有1200名学生）（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．

基础年级高三合计优秀

非优秀

合计

300

P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879

附：参考答案：（1）该校学生每周平均体育运动时间………3分样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数:

又样本中高一的人数有120人，所以高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为1200=300………6分（2）列联表如下：

基础年级高三合计优秀10530135非优秀10560165合计21090300………………8分假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，则又.所以有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．………12分20.点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。参考答案：点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。解：设，则,即，当时，；当时，。略21.某机床厂每月生产某种精密数控机床10件，已知生产一件合格品能盈利8万元，生产一件次品将会亏损2万元。假设该精密数控机床任何两件之间合格与否相互没有影响。相关部门统计了近二年每个月生产的合格品，以生产最稳定的年份估算2010工厂生产该精密数控机床的合格率。合格品1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月2008787610856786620099878889781077参考数据：(1)试确定2010年生产精密数控机床的合格率；(2)若该工厂希望每月盈利额X不低于70万元,求该工厂达到盈利目标的概率(将结果精确到0.01)；

(3)求该工厂每月盈利额X的数学期望.

参考答案：解：(1)2008年方差；2009年方差2010年生产精密数控机床的合格率为

(2)设X表示合格品的个数，则X～B(10,0.8)，X表示每月盈利额，则(3)由X～B(10,0.8)可知EX=8,因为所以(万元)22.（本题满分12分）已知，函数．（I）若，求函数的极值点；（II）若不等式恒成立，求的取值范围．（为自然对数的底数）参考答案：（I