上海市省吾中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

上海市省吾中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea﹣1的大小关系为（）A．ea﹣1＜a＜ae B．ae＜a＜ea﹣1 C．ae＜ea﹣1＜a D．a＜ea﹣1＜ae参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】令f（x）=ex﹣1﹣x，（x∈（0，1））．利用导数研究函数的单调性可得ea﹣1与a的大小关系，再利用指数函数的单调性可得a与ae的大小关系．【解答】解：∵0＜a＜1，ae＜a，令f（x）=ex﹣1﹣x，（x∈（0，1））．f′（x）=ex﹣1＞0，∴函数f（x）在x∈（0，1））单调递增，∴f（x）＞f（0）=1﹣1﹣0=0．∴ea﹣1＞a．∴ea﹣1＞a＞ae．故选：B．2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则(

)A．B=2C B．B=2A C．A=2C D．C=2A参考答案：B考点：余弦定理．专题：计算题；转化思想；分析法；解三角形．分析：利用余弦定理，正弦定理化简已知可得2sinAcosB=sinC﹣sinA，根据三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用解得sin（B﹣A）=sinA，即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A，从而可得B=2A．解答：解：∵cosB====∴2sinAcosB=sinC﹣sinA=sin（A+B）﹣sinA=sinAcosB﹣cosAsinB﹣sinA移项，整理，得sin（B﹣A）=sinA即B﹣A=A或B﹣A=180﹣A所以B=2A或B=180（舍）．故选：B．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题3.设变量满足约束条件则的最大值为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C略8、执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：：B5.第十二届《财富》全球论坛将于2013年6月在成都举行，为了使大会圆满举行，组委会在大学生中招聘了6名志愿者，其中甲大学有2名，乙大学有3名，丙大学有1名.若将他们安排在连续六天的服务工作中，每人一天，那么同一所大学的志愿者不安排在相邻两天服务的概率为(A)(B)(C)(D)参考答案：D略6.已知函数在一个周期内的图像如图所示，其中P，Q分别是这段图像的最高点和最低点，M，N是图像与x轴的交点，且，则A的值为（

）A．2

B．1

C.

D．参考答案：C7.设函数

其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：D略8.已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（） A． B． x2=y C． x2=8y D． x2=16y参考答案：C略9.函数在区间内的图象大致是（

）参考答案：D10.已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{1，2} C．{﹣1，1，3，5} D．{﹣1，0，1，2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出集合N，再根据交集的定义写出M∩N即可．【解答】解：集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}={﹣1，1，3，5}，所以M∩N={﹣1，1}．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A、B、C三点共线，O为直线外任意一点，且，则的最小值为

参考答案：略12.设点P为函数f（x）=（x3﹣）图象上任一点，且f（x）在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用函数的导数，求出导函数，通过导函数值的范围，求解倾斜角的范围．【解答】解：∵f（x）=（x3﹣），∴f′（x）=（3x2+）≥，点P为函数f（x）=（x3﹣）图象上任一点，则过点P的切线的斜率的范围：k≥．过点P的切线的倾斜角为α，tanα≥．过点P的切线的倾斜角取值范围：．故答案为．13.某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元．参考答案：2300略14.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值集合是__________.参考答案：【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.【答案解析】解：因为偶函数在单调递减，所以在单调递增，又因为，所以，故满足的x的范围是，而成立，则有，即，故答案为.【思路点拨】结合函数的性质可得的x的范围，再解即可.15.已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为

；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为

．参考答案：（1，0），y=±（x+1）

【考点】圆的一般方程．【分析】圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标；圆心到直线的距离d==1，可得直线方程．【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），设直线l的方程为y﹣0=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=±，∴直线l的方程为y=±（x+1），故答案为（1，0），y=±（x+1）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16.设向量，，若，则

．参考答案：17.若实数x、y满足不等式组，则x+y的最大值为_____________．参考答案：9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，求取得两球颜色为一白一黑的概率。参考答案：1个红球，2个白球和3个黑球记为a1；b1，b2；c1，c2，c3

…………1分从袋中任取两球有(a1,b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共15种；……………8分满足两球颜色为一白一黑有种，概率等于………………11分答：取得两球颜色为一白一黑的概率是

…………12分19.（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为4，设右焦点为，离心率为．（1）若，求椭圆的方程；（2）设、为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上．①证明点在定圆上；②设直线的斜率为，若，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由，c=2，得，b=2,所求椭圆方程为.

…………………（4分）（Ⅱ）设，则，故，.①由题意，得.化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上.……………（8分）②设，则.将，，代入上式整理，得

因为，k2>0，所以，所以．化简，得解之，得，故离心率的取值范围是.

…………（12分）

略20.(本小题满分12分)如图，四棱锥中，平面，∥,，，为上一点，平面．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）若，求点D到平面EMC的距离.参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）运用线面平行的判定定理证明；（Ⅱ）借助体积相等建立方程求解即可.试题解析:（Ⅰ）证明：取的中点，连接，因为，所以，又因为平面，所以，所以平面，………………3分因为平面，所以∥，面，平面,

考点：直线与平面的位置关系及运用．【易错点晴】本题考查的是空间的直线与平面平行的推证问题和点到直线的距离问题.解答时,证明问题务必要依据判定定理,因此线面的平行问题一定要在所给的平面中找出一条直线与这个平面外的直线平行,叙述时一定要交代面外的线和面内的线,这是许多学生容易忽视的问题,也高考阅卷时最容易扣分的地方,因此在表达时一定要引起注意.21.如图，四棱锥中，，是矩形，是棱的

中点，，．（1）证明；（2）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（1）连交于，连则是的中位线，所以，因为，，．

(2)

由两平面垂直的性质定理得，所以，因为，，即直线所成角的正弦值是．略22.已知函数，其中a，b∈R．（1）当b=1时，g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，①求b的取值范围；②求证：．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由求导，由题意可知：g′（）=0，即可求得a的值，根据函数与单调性的关系，即可求得函数f（x）的单调区间；（2）①f（x）=lnx+bx（x＞0），求导，分类，由导数与函数极值的关系，则f（x）极大值为，解得．且x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＜0．则当时，f（x）有两个零点；②由题意可知：lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，要证，即证lnx1+lnx2＞2，则．则，构造辅助函数，求导，根根据函数的单调性，则h（t）＞h（1）=0，则，即可证明．，【解答】解：（1）由已知得，由g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，则，∴a=﹣2．则f（x）=﹣x2+lnx+x（x＞0）．则，由f'（x）＞0得0＜x＜1，由f'（x）＜0得x＞1．∴f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知f（x）=lnx+bx（x＞0）．∴，当b≥0时，显然f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）在定义域内递增，f（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令f'（x）=0得，令f'（x）＞0得；令f'（x）＜0得．∴f（x）极大值为，解得．且