不等式、推理与证明 强化训练-高三数学二轮专题复习

冲刺高考二轮不等式、推理与证明强化训练（原卷+答案）考点一不等式的解法——明条件，巧转化，数形结合1.若a>0，b>0，则“a＋b<2”的一个必要不充分条件是()A.1a+1b<1C.a2＋b2<2D．a<2−b2．对任意的x∈(0，＋∞)，x2－2mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为()A.[1，＋∞)B．(1，＋∞)C.(－∞，1]D．(－∞，1)3．不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是()A.1<a<5B．－5<a<－1C.－5<a≤－1D．－3<a≤－14．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4，1)，则不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集为()A.−B.−1，C.−∞，−D.5．已知集合A＝{x|2x2＋x－6≤0}，B＝{x|x+3x−1<0}，则A.{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤1}C.{x|－4≤x<2}D．{x|练后领悟1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(＜0)(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．2．简单分式不等式的解法(1)fxgx>0(<0)⇔f(x)g(2)fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x警示解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．考点二基本不等式——巧变形，会配凑1.已知0<x<12，则1A.5B．6C．7D．82．已知a，b为正实数，且2a＋b＝1，则2aA.1B．6C．7D．223．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1aA.14B．14．已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)．若AE＝xAB＋yAC，则2xA.4B．6C．8D．95．在等差数列{an}中an>0，且a1＋a2＋…＋a2019＝4038，则a1A.4B．6C．8D．96．若x>1，则4x＋1x−1A.6B．8C．10D．12考点三线性规划——以线为界画区域，用点坐标求最值1.若x≥0x−2y≤0，x+y−3≥0则2．设变量x，y满足线性约束条件y−2x+3≥0，x+y≤3，11x−A.－73B．－C.1D．83．已知实数x，y满足x−y+2≥0，2x+y−2≥0，2x−yA.41B．61C.72D．744．若实数x，y满足约束条件x+y≥2x−2y≥−1A.[0，2]B．[1，2]C.12，15．已知x，y满足约束条件2x−y≥0，x+2y−6≥0，x−考点四推理与证明——以“理”助“推”，以“法”帮“推”1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A.乙可以知道其他两人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩2．给出下列不等式：1＋121＋12+13＋…1＋12+13＋…则按此规律可猜想第n个不等式为________．3．为了更好地管理班级，班主任决定选若干名学生担任班主任助理，于是征求语、数、英三科任课教师的意见．语文老师：如果不选小李，那么不选小宋；数学老师：如果不选小宋，那么选小李；英语老师：小宋和小李两人中至少选一个并且至多选一个．若班主任同时采纳了三人的建议，则作出的选择是()A.选小宋，不选小李B.选小李，不选小宋C.两人都选D.两人都不选4．相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”(阳爻：)看作是1，把“间断的短划”(阴爻：)看作是0，那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法．下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：卦名坤震坎兑艮离巽亁八卦符号二进制数000001010011100101110111请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为()5．如图，在3×3的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．221213331例如：若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动________次．参考答案考点一1．解析：因为a>0，b>0，对于A，当a＋b<2，取a＝b＝12，明显可见，1对于B，当a＋b<2，0<b<2－a，得ab<a(2－a)＝－(a－1)2＋1<1，必要性成立；当ab<1，取a＝2，b＝14，明显可见，a＋b>2，则a＋b对于C，当a＋b<2，取a＝32，b＝14，明显可见，a2＋b2＝94+116>2，则对于D，当a＋b<2成立，则0<a<2－b，明显可见，a<2−b成立；当a<2−b，两边平方，同样有a＋b<2，充分性也成立，D错误．故选B.答案：B2．解析：当x∈(0，＋∞)时，由x2－2mx＋1>0得：2m<x＋1x，∵x＋1x≥2(当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号)，∴2m<2，解得m<1，即m答案：D3．解析：当a＋1＝0，即a＝－1时，(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0可化为－1<0，即不等式－1<0恒成立；当a＋1≠0，即a≠－1时，因为(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，所以a+1<0a+1解得－5<a<－1.综上所述，－5<a≤－1.故选C.答案：C4．解析：由题意知：－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个解，代入方程得到−4+1=−ba−4×1=ca⇒b＝3a不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0可化为3a(x2＋1)－a(x＋3)－4a>0，即3(x2＋1)－(x＋3)－4<0，解得x∈−1，4故选B.答案：B5．解析：∵A＝{x|2x2＋x－6≤0}＝{x|−2≤x≤32}，B＝因此，A∩B＝{x|－2≤x<1}．故选A.答案：A考点二1．解析：1x+1+2x1−2x＝因为2x＋1－2x＝1，又0<x<12，所以1－2x>0，则1x+21−2x－1＝1x+21−2x[2当且仅当1−2xx＝4x1−2x，即x＝14答案：C2．解析：由已知条件得，2a+a2b＝4a+2ba+a当且仅当2ba＝a2b，即a＝25，b＝15答案：B3．解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得的弦长为4，说明圆心在直线：2ax－by＋2＝0上，即－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴1a+1b＝1a+1b当且仅当ba＝ab，即a＝b＝答案：D4．解析：由题意得：点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)，则由共线向量定理可知：设BE＝λBD(0＜λ＜1)，∵AE＝AB+BE＝AB＋λBD＝AB＋λ(AD−AB)＝(1－∴x＝1－λ，y＝λ2(x＞0，y∴2x+1y＝21−λ+2λ＝(21−λ+当且仅当2λ1−λ＝21−λλ，即λ＝1答案：C5．解析：因为在等差数列{an}中a1＋a2＋…＋a2019＝4038，所以2019a1+a20192＝4038，即又an>0，所以a1·a2019≤a1+当且仅当a1＝a2019＝2时，等号成立，所以，a1·a2019的最大值为4.故选A.答案：A6．解析：因为x>1，所以x－1>0，1x−1因此4x＋1x−1＝4x－4＋1x−1＋4＝4(x－1)＋1x−1＋4≥当且仅当4x－4＝1x−1，即x＝3答案：B考点三1．解析：作出可行域如图所示：作出直线y＝－x＋t，经过A(0，3)，B(2，1)时，z＝x＋y取得最小值3.答案：32．解析：由题意可得，线性约束条件表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，其中A(2，1)，B(－1，4)，C(－2，－7)．目标函数z＝yx+5表示可行域内一点(x，y)与点P(－5，0)连线的斜率，因此结合图形可知，直线PB的斜率最大且斜率为4−0答案：C3．解析：如图，作出不等式组对应的可行域，设z＝(x＋1)2＋y2，则z的几何意义是区域内的点到定点D(－1，0)距离的平方，依次计算出三条边界直线的3个交点坐标分别为A(1，0)，B(4，6)，C(0，2)，由图象知点B到D(－1，0)的距离最大，此时zmax＝52＋62＝61，故选B.答案：B4．解析：作出约束条件x+y≥2，x−2y≥−12x−y≤4，所表示的平面区域，为如图所示的△ABC区域(包含边界)．z＝y+1x表示阴影区域内的点与点P(0，－1)连线的斜率．结合图形可知，点C(1，1)与点P的连线的斜率最大，且kPC＝2，点A(2，0)与点P的连线的斜率最小，且kPA＝答案：D5．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，可知当目标函数z＝3x＋2y经过点A时取得最小值，经过点B时取得最大值，联立x+2y−6=0，2x−y=0，解得点A坐标65，125，代入目标函数得zmin＝3×65＋2×125＝425；联立x=2，2x−y=0，解得点答案：42考点四1．解析：甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.答案：D2．解析：观察各式左边为1n的和的形式，项数分别为3，7，15，…，∴可猜想第n个式子中左边应有2n＋1－1项，不等式右边分别写成22，32，42，…，∴猜想第n个式子中右边应为n+12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为1＋12+1答案：1＋12+13＋…＋12n+1−1>3．解析：由英语老师的话易知，两人中选且只选一人，C、D错误，由语文老师的话易知，如果不选小李，那么不选小宋，A错误，由数学老师的话