上海市民办市北高级中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

上海市民办市北高级中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差，和是函数的极值点，则（

）A.－38 B.38 C.－17 D.17参考答案：A【分析】先用函数极值条件，来计算和，再根据等差数列性质和求和公式算出.【详解】由题，又因为公差，所以,。经计算，。所以，故选A.【点睛】本题考查函数极值和导数的计算，还有等差数列求和公式，属于综合题，但难度不高,属于中档题.2.已知，．若，则的取值范围是A． B．C． D．参考答案：D【点睛】考查平面向量的概念，平面向量的线性运算，平面向量的的数量积以及最大值最小值的讨论。解决此类问题，要多注意平面向量的性质，做题一定要数行结合@3.设集合，，则等于（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略4.设全集U=，集合,集合，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.（5分）已知向量=（m，1﹣n），=（1，2），其中m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值是（）A．2B．3+2C．4D．3+参考答案：B【考点】：基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据向量平行，建立m，n的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论．解：∵向量=（m，1﹣n），=（1，2），∴若∥，则2m﹣（1﹣n）=0，即2m+n=1，∴+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当，即n=，即m=1﹣，n=时取等号．故最小值为3+2，故选：B．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用，利用向量平行的坐标公式求出m，n的关系是解决本题的关键．6.已知P是圆x2+y2=1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（）A．1 B． C．2 D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求．【解答】解：由于圆心O（0，0）到直线的距离d==2，且圆的半径等于1，故圆上的点P到直线的最小距离为d﹣r=2﹣1=1，故选A．7.已知，函数为奇函数，则a＝（A）0（B）1（C）－1（D）±1参考答案：答案：A解析：解法1由题意可知，得a=08.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（

）A．B．C．D．参考答案：A由三视图可知，该组合体下面是边长为2的正方体，上面是底边边长为2，侧高为2的四棱锥。四棱锥的高为，四棱锥的体积为，所以组合体的体积为，答案选A.9.下列函数中，既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D10.称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A． B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（）参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．【解答】解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．【点评】考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，那么

.参考答案：812.下列说法中正确的有________①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。

参考答案：③④13.若变量．满足条件，则的最大值为

。参考答案：本题考查线性规划问题，难度中等.作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分，由图可知，当目标函数经过直线的交点，即图中时取得最大值.14.执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为

．ReadIfThen

Else

End

IfPrint

参考答案：115.若实常数，则不等式的解集为

．参考答案：16.已知函数f(x)＝log3(a－3x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是________．参考答案：[6，＋∞)17.（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数是

．参考答案：15【考点】二项式系数的性质．【分析】把（1+）5按照二项式定理展开，即可求得（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数．【解答】解：（1+x）（1+）5=（1+x）（1+5+10x+10x+5x2+），∴展开式中x2项的系数是：5+10=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

数列的前n项和为，且，数列满足．

(I)求数列的通项公式，

(Ⅱ)求数列的前n项和．参考答案：略19.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；参考答案：(1)；(2)单调增区间是，无减区间【分析】（1）先求导求得斜率，再利用点斜式求方程即可；（2）由导函数的正负确定单调区间即可.【详解】（1），又函数过，故函数在处的切线方程是；（2），故函数的单调增区间是；无减区间.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，是基础题.

20.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}中，bn=log2an，求数列{an?bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据递推公式，即可求数列{an}的通项公式；（II）求得数列{bn}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{bn}的前n项的和Tn【解答】解：（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，又数列{an}成等比，设公比q，则+4q=10，∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），∴q=2，an=4×2n﹣5=2n﹣3；（Ⅱ）bn=n﹣3，∴an?bn=（n﹣3）×2n﹣3，Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，相减得Tn=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2=（n﹣4）×2n﹣2+1，22.已知抛物线的焦点为，直线过点.（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；（4分）（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.（6分）参考答案：解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，由已知，抛物线的焦点坐标为，

…1分因为点到直线的距离为，所以，

…2分解得，所以直线的斜率为.

…4分（2）设线段中点的坐标为，，因为不垂直于轴