上海市崇明县长兴中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

上海市崇明县长兴中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.己知关于x的不等式在(0，＋∞)上恒成立，则整数m的最小值为(

)A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B2.直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(

) A．[﹣，0] B． C．[﹣] D．[﹣，0]参考答案：A考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题．分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．解答： 解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．

解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．3.若实数，满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的A.必要而不充分的条件

B.充分而不必要的条件C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件参考答案：C4.甲、乙两位同学约定周日早上8：00﹣8：30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}事件对应的集合表示的面积是s=900，满足条件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，事件对应的集合表示的面积是=200，根据几何概型概率公式得到P=．故选C．【点评】本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．5.从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有

A．80种

B．100种

C．120种

D．240种参考答案：B6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

) （A）2 （B）1 （C） （D）参考答案：B略7.i为虚数单位，复数=A．

1－i

B．－1－i

C．

－1+i

D．1+i参考答案：D分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：。8.设抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则直线的倾斜角为（

）A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：D9.已知平面内一点及，若，则点与的位置关系是

A.点在线段上

B.点在线段上

C.点在线段上

D.点在外部参考答案：C由得，即，所以点在线段上，选C.10.运行如图程序框图，分别输入t=1，5，则输出S的和为（）A．10 B．5 C．0 D．﹣5参考答案：A【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能为计算并输出S=的值，则当输入的t=1时，S=5×1=5，当输入的t=5时，S=52﹣4×5=5，则输出S的和为5+5=10．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设复数（其中i是虚数单位），则___________.参考答案：1-i12.在中，的内心，若，则动点的轨迹所覆盖的面积为

.参考答案：13.已知正数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为 ．参考答案：2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：正数x，y满足xy+x+2y=6，可得x=＞0，解得0＜y＜3．可得xy=，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：∵正数x，y满足xy+x+2y=6，∴x=＞0，解得0＜y＜3．∴xy==≤+10=2，当且仅当y=1（x=2）时取等号．∴xy的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于基础题．14.已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的前取值范围是参考答案：（0,）15.过点P（2，3）的直线l将圆Q：（x﹣1）2+（y﹣1）2=16分成两段弧，当形成的优弧最长时，则（1）直线l的方程为 ；（2）直线l被圆Q截得的弦长为

．参考答案：（1）x+2y﹣8=0；（2）2．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设圆心为Q（1，1），由圆的性质得，当直线l⊥PQ时，形成的优弧最长，l应与圆心与Q点的连线垂直，求出直线的斜率即可得出直线l的方程；（2）求出圆心Q（1，1）直线x+2y﹣8=0的距离，利用弦长公式可得结论．解答： 解：（1）设圆心为Q（1，1），由圆的性质得，当直线l⊥PQ时，形成的优弧最长，此时kPQ==2，所以直线l的斜率为﹣．于是由点斜式得直线l的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+2y﹣8=0；（2）圆心Q（1，1）直线x+2y﹣8=0的距离为d==，设直线l与圆Q相交于点A，B，则弦长|AB|=2=2．故答案为：x+2y﹣8=0；2．点评：本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算．第（1）问利用直线l⊥PQ时，形成的优弧最长可求出直线的斜率，进而求出直线L的方程；第（2）问先求出圆心到直线l的距离，再计算直线l被圆截得的弦长．16.在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为

．参考答案：【答案解析】(0，15)或(－8，－1)解析：由已知得过点B与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C点坐标为（－10,0）或（－2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0，15)或(－8，－1).【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标.17.已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．参考答案：19.如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：（1）异面直线PD与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．参考答案：考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题．分析：（1）利用平移法作出异面直线所成的角，进而利用余弦定理可求线线角；（2）四棱锥的体积为×底面积×高，求出底面梯形的面积即可．解答： 解：（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，从而BC=AF=2，……延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．在△PDE中，cos∠PDE=﹣．…所以，异面直线PD与AC所成角的大小为arccos．…（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，∴底面梯形面积为∵PA⊥平面ABCD，PA=1．∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．…点评：本题考查线线角，考查棱锥的体积，解题的关键是正确作出线线角，属于中档题．20.（本题满分12分）已知{an}是等差数列，其中a3+a7=18，a6=11（1）求数列{an}通项an（2）若数列{bn}满足求数列{bn}的前n项和Tn参考答案：21.（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．

（1）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．参考公式：参考答案：略22.已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）根据椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，可得c=2，利用与椭圆有相同的离心率，可求得a=，进而可得b=2，故可求椭圆的标准方程．（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立可得（1+2k2）x2+4kx﹣6=0，利用韦达定理有x1+x2=，x1x2=，要使右焦点F在圆内部，则有＜0，用坐标表示可得不等式，从而可求出k的范围．【解答】解：（1）∵焦距为4，∴c=2…又∵的离心率为…∴，∴a=，b=2…∴标准方程为…（2）设直线l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+2k2）x2+4kx﹣