上海市市北中学2021年高二数学文联考试卷含解析

上海市市北中学2021年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下面对算法描述正确的一项是：（

）A．算法只能用自然语言来描述

B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法

D．同一问题的算法不同，结果必然不同参考答案：C

解析：算法的特点：有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性2.一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为()A.π

B.π

C.π

D．8π参考答案：A略3.若是函数的极值点，则f(x)的极小值为()A.－1 B. C. D.1参考答案：C【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.【详解】函数，可得，因为是函数的极值点，可得，解得，可得，令，当或时，，此时函数为单调增函数，当时，，此时函数为单调减函数，所以当时函数取得极小值，此时极小值为，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

4.下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为(

)A．i>20

B．i<20

C．i>=20

D．i<=20参考答案：A5.如图所示，正方形的四个顶点分别为，曲线经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.，为两个互相垂直的平面，、b为一对异面直线，下列条件：①//、b；②⊥、b；③⊥、b；④//、b且与的距离等于b与的距离，其中是⊥b的充分条件的有（

）

A．①④

B．①

C．③

D．②③

参考答案：C7.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B8.函数的定义域是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C9.下列结论中正确的是(

)(A)导数为零的点一定是极值点(B)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值(C)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值(D)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值参考答案：B10.若为圆的弦的中点，则直线的方程是（

）A

B

C

D

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=120°，则椭圆离心率e的取值范围是

。参考答案：[，1)12.已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是a，那么另一组数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…，xn﹣2的方差是

．参考答案：a【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减去2所以波动不会变，方差不变．【解答】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都减去了2，则平均数变为﹣2，则原来的方差S12=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=a，现在的方差S22=[（x1﹣2﹣+2）2+（x2﹣2﹣+2）2+…+（xn﹣2﹣+2）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]=a，所以方差不变，故答案为：a．【点评】本题说明了当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．13.从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第个等式为__________________.参考答案：略14.在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是

．参考答案：略15.某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

序号(I)分组(睡眠时间)组中值(GI)频数(人数)频率(FI)1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见流程图，则输出的S的值是________．参考答案：6.4216.已知命题：是真命题，则实数m的取值范围为

参考答案：（-2，2）【分析】因为命题：是真命题，可得即可求得答案【详解】命题：是真命题，解得则实数的取值范围为故答案为

17.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下：

甲乙丙丁平均环数8．58．88．88方

差3．53．52．18．7

则加奥运会的最佳人选是

参考答案：

丙

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设命题：函数的定义域为R；命题：不等式对一切正实数均成立，若“”为真命题,“”为假命题，求实数的取值范围．参考答案：解析：由得a>2,∴p:a>2

……………3分∵不等式对一切正实数均成立，∴对一切正实数均成立

……………5分又x>0时，<1，

………………8分∴

∴q：

……………9分∵“”为真命题,“”为假命题∴、一真一假

……………10分若真假，无解

……………11分若假真，

……………12分综上可知

……………13分19.已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】证明题；新定义．【分析】（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…由已知得，．…（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…依题意得：=．化简可得：=，即==．…设（t＞1），上式化为：，即．…令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．20.某班主任对全班40名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：

认为作业多认为作业不多总计喜欢玩游戏2010

不喜欢玩游戏28

总计

（Ⅰ）请完善上表中所缺的有关数据；（Ⅱ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“喜欢玩游戏与作业量的多少有关系”？P（x2≥k）0.100

0.050

0.010k2.706

3.841

6.635附：χ2=．参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表即可；（Ⅱ）计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（Ⅰ）填写列联表，如下；

认为作业多认为作业不多总计喜欢玩游戏201030不喜欢玩游戏2810总计221840…（Ⅱ）将表中的数据代入公式：χ2=，得x2=，…计算得χ2≈6.599＞3.841，所以有95%把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系…21.已知抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径在轴上方作半圆交抛物线于不同的两点和，设为线段的中点．（1）求的值；（2）是否存在这样的值，使成等差数列?如存在，求出的值，若不存在，说明理由.参考答案：（1）F（a,0）,设，由，，（2）假设存在a值，使的成等差数列，即

=

矛盾.∴假设不成立．即不存在a值，使的成等差数列．或解:

知点P在抛物线上.矛盾.略22.如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，点E（，）在椭圆上，设点A1，B1分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点A1，B1引椭圆C的两条弦A1E、B1F．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（II）若直线A1E与B1F的斜率是互为相反数．（i）直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；（ii）设△A1EF、△B1EF的面积分别为S1和S2，求S1+S2的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率是，点E（，）在椭圆上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）求出A1（2，0），B1（0，1），从而得到=﹣，=，进而求出直线B1F，与椭圆联立，求出F，由此能求出直线EF的斜率为定值．（ii）求出直线EF和方程和|EF|，再分别求出点A1（2，0）到直线EF的距离和点B1（0，1）到直线EF的距离，由此能求出S1+S2．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，点E（，）在椭圆上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）（i）∵E（