河北省沧州市任丘辛中驿中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

河北省沧州市任丘辛中驿中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某中学要从名男生和名女生中选派人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（

）A．25种

B．35种

C．840种

D．820种参考答案：答案：A2.集合，则A.

B.

C.D.参考答案：C略3.曲线在点(1,1)处的切线的倾斜角为（）A.30° B.45° C.60° D.135°参考答案：D【分析】求出函数的导数，在处的导数就是切线的斜率，然后求出倾斜角即可．【详解】解：可得，，，设切线的倾斜角为，可得故选D．【点睛】本题考查直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查计算能力，是基础题．4.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为

A．1

B．

C．

D．

参考答案：B5.已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若

则直线倾斜角为

A．

B.

C.

D.

参考答案：D略6.设是直线，a，β是两个不同的平面A.若∥a，∥β，则a∥β

B.若∥a，⊥β，则a⊥βC.若a⊥β，⊥a，则⊥β

D.若a⊥β,∥a，则⊥β参考答案：B

利用排除法可得选项B是正确的，∵∥a，⊥β，则a⊥β．如选项A：∥a，∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，⊥a，∥β或；选项D：若若a⊥β,⊥a，∥β或⊥β．7.已知全集,集合,则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C.

全集,集合,.8.已知函数，又为锐角三角形两锐角，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：B9.已知直线和平面,且，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：B10.如图2是函数图象一部分，对不同的，若，有，则（

）A．在(－)上是增函数 B．在(－)上是减函数C．在(－)上是增函数 D．在(－)上是减函数参考答案：A试题分析：根据函数图象得出；，对称轴为：，，，，∵，∴．即，∵，∴，∴，∵，，∴．故选：A．考点：正弦函数的图象.【思路点晴】本题考察了三角函数的图象和性质的运用，关键是利用图象得出对称轴，最值即可，加强分析能力的运用；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某算法的程序框图如右图，若输出的的值为，则正整数的值为

.参考答案：第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，第六次循环，不满足条件，输出,所以此时。12.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的标准方程为

．参考答案：13.已知边长为的正三角形三个顶点都在球的表面上，且球心到平面的距离为该球半径的一半，则球的表面积为

.参考答案：14.过抛物线焦点的直线交该抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则

A.14

B．12

C.l0

D.8参考答案：B15.若（ax﹣1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是．参考答案：2考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：二项展开式的通项Tr+1=C5r（ax）5﹣r（﹣1）r=（﹣1）ra5﹣rC5rx5﹣r，令5﹣r=3可得r=2，从而有a3C52=80可求a的值．解答：解：二项展开式的通项Tr+1=C5r（ax）5﹣r（﹣1）r=（﹣1）ra5﹣rC5rx5﹣r令5﹣r=3可得r=2∴a3C52=80∴a=2故答案为：2点评：本题主要考查了特定项的系数，以及二项展开式的通项，同时考查了计算能力，属于基础题．16.定义在上的函数满足.若当时，,则当时,=_____________________；参考答案：17.已知平面向量与的夹角为，，，则

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）依题意知，|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…19.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（4分）（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积．（8分）

参考答案：(1)(2)解析：解：（1）对于：由，得，进而．

2分对于：由（为参数），得，即．

4分（2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距，6分．弦长，

8分．因此以为边的圆的内接矩形面积-------------------------12分

略20.如图，已知五面体ABCDE，其中△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：AD⊥BC（Ⅱ）若AB=4，BC=2，且二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用圆的性质可得AC⊥BC，已知DC⊥平面ABC，可得DC⊥BC，可得BC⊥平面ACD，再利用线面垂直的性质即可得出；（II）设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，可得平面BCD的一个法向量是=，设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，利用，即可得出．又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，可得.=cosθ=，解得a．利用VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC=+，即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵DC⊥平面ABC∴DC⊥BC，又AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD，又AD?平面ACD，∴AD⊥BC．（Ⅱ）解：设CD=a，以CB，CA，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则C（0，0，0），B（2，0，0），，D（0，0，a）．由（Ⅰ）可得，AC⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量是=，设=（x，y，z）为平面ABD的一个法向量，由条件得，=，=（﹣2，0，a）．∴即，不妨令x=1，则y=，z=，∴=．又二面角A﹣BD﹣C所成角θ的正切值是2，∴．∴=cosθ=，∴==，解得a=2．∴VABCDE=VE﹣ADC+VE﹣ABC=+=+==8．∴该几何体ABCDE的体积是8．【点评】本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC＜2，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间向量及应用．【分析】（1）由题意可得AC⊥PC，再由勾股定理可得AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，进而可判平面EAC平面PBC；（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，分别可得平面PAC和EAC的法向量，待定系数可得a值，由向量的夹角公式可得答案．【解答】解：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC平面PBC；（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），∴=（1，1，0），=（0，0，a）（a＞0），=（，﹣，），=（1，1，﹣a），设=（x，y，z）为平面PAC的法向量，则，可取=（1，﹣1，0）同理平面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），依题意，设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜