江西省上饶市私立德爱中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

江西省上饶市私立德爱中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知变量x,y满足约束条件

则z=x+2y-1的最大值为

A.9

B.8

C.7

D.6参考答案：【知识点】简单线性规划．L4

【答案解析】B

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y﹣1得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由，得，即A（1，4）此时z=1+8﹣1=8，故选：B．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论.2.已知函数若a，b，c互不相等，，则的取值范围是(

)A．（1,10）

B．（5,6） C．（10,12）

D．（20,24）参考答案：C略3.

（

）A．0

B.

1

C.

2

D.

参考答案：答案：A4.设，，（其中e=2.71828…是自然对数的底数），则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】判断a,b,c的范围即得a,b,c的大小关系.【详解】由题得，且b>0.，所以.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：算法流程图的识读和理解．6.以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分；②已知命题，，则，；③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.其中真命题的序号为（

）A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④0.150.10.050.0252.0722.7063.8415.024参考答案：B7.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A． B．[0，1] C． D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故选A．8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,则此球的体积等于(

)A.B.C.D.参考答案：B9.设集合M={x|}，N={x|1≤x≤3},则M∩N=（

）

A．[1,2）

B．[1,2]

C．（2,3]

D．[2,3]参考答案：A10.点在直线上移动，则的最小值是（）A.8

B.6

C.

D.参考答案：C【知识点】基本不等式解析：因为，当且仅当a=2b时等号成立，所以选C.【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是

.参考答案：12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最小值是

．参考答案：，，,

,

,

当且仅当时成立.

13.若，则的最小值是

.参考答案：14.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则=

．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．15.复数的共轭复数是___________参考答案：.

，故该复数的共轭复数为.16.连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是

.参考答案：略17.已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意，等式＝＋恒成立．现有两个函数，，则函数、与集合的关系为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的定义域；（2）设是第四象限的角，且，求的值．参考答案：解：（1）函数要有意义，需满足：，解得，------------2分即的定义域为-------------------------------------4分（2）∵--------6分

-------------------------------------------------8分由，得,

又∴，∵是第四象限的角∴，---------------------10分∴．-----------------------------------------------------------12分略19.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：，化为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数,,其中.(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)任意,恒成立,求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)不等式即,………2分两边平方得,解得,所以原不等式的解集为.………5分(Ⅱ)不等式可化为,………7分又,所以,解得,所以的取值范围为.………10分21.

（13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球恰有1个红球的概率.参考答案：解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，且

,

.………4分

所以取出的4个球均为黑球的概率为.………6分（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且,

.……11分

所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为

.……13分22.(本大题满分12分)

某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90,120)，[120，l50)，[150，180),[180，210)，[210,240)，得到频率分布直方图如右图．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人．

(1)求n的值并求有效学习时间在[90，120)内的频率；(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，下列2×2列联表．问：是否有95％的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?

利用时间充分利用时间不充分合计走读生50a

住宿生b15

合计

40n(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为x，求x的分布列及期望．参考公式：K2=参考列表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.025k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024参考答案：(1)解：设第i组的频率为Pi(i=1，2，…，8)

由由频率分布直方图知：

∴有效学习时间少于60分钟的频率为，故，∴n=100

2分

又

∴

∴有效学习时间在[9