广东省阳江市石望中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

广东省阳江市石望中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，若与平行，则实数的值是（

）A．-2

B．2

C．1 D．参考答案：试题分析：由，得，，由已知得，所以，选.考点：1.共线向量；2.平面向量的坐标运算.2.以A(3,－1)，B(－2,2)为直径的圆的方程是A. B.C. D.参考答案：A【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为，由题意得圆心为，的中点，根据中点坐标公式可得，，又，所以圆的标准方程为：，化简整理得，所以本题答案为A.

3.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

(

)

A．

B.

C．

D.参考答案：D略4.已知命题：函数在R为增函数，

：函数在R为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是。（A），

（B），

（C），

（D），参考答案：C5.已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（

）A． B． C． D．参考答案：D6.函数在点处有定义是在点处连续的

(A)充分而不必要的条件

(B)必要而不充分的条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要的条件参考答案：B

本题主要考查函数连续性的定义与充要条件的判断，难度一般。

函数在处连续必定在处有定义，确定函数在某一处连续还需要确定函数在此处是否有极限，以及极限值是否与函数值相等。因此在点处有定义是在点处连续的必要非充分条件，选择B。

7.（5分）已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={﹣1，0，2，3}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}参考答案：A【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．解：由M中不等式解得：﹣2≤x≤2，即M=[﹣2，2]，∵N={﹣1，0，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，2}，故选：A．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.设函数，若取正值的充要条件是，则，满足

【

】A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知抛物线，过原点的动直线交抛物线于、两点，是的中点，设动点，则的最大值是（

）A． B． C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，阴影区域是由函数y=cosx的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是

．参考答案：2【考点】定积分．【分析】由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx=2．故答案为：2．12.某算法的伪代码如右，则输出的结果是

▲

.参考答案：答案：1613.已知实数x，y满足则z=3x+y的最大值为．参考答案：48【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件实数x，y满足可行域如下图中阴影部分所示：则z=3x+y，经过A时，目标函数取得最大值，由，解得A（14，6）∴ZA=42+6=48，故Z=3x+y的最大值是48，故答案为：48．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14.下列命题中正确的是

（写出所有正确命题的题号）

①存在α满足；

②是奇函数；

③的一个对称中心是(－；

④的图象可由的图象向右平移个单位得到。参考答案：②③略15.已知在△ABC中，C=，AB=6，则△ABC面积的最大值是_________．参考答案：略16.已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m=

．参考答案：2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出函数y=ax+的导数，求出切线的斜率，由已知切线，得到a﹣2=﹣1，从而得到m，再由切线过切点，即可得到b，进而得到a+b﹣m．【解答】解：点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，则m=a+2，函数y=ax+的导数y′=a﹣，该函数图象在P点处的切线斜率为a﹣2，由于直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4，则有a+b﹣m=1+4﹣3=2．故答案为：2．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．17.若x，y满足，则z=x﹣3y的最大值为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形根据目标函数的几何意义判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可．【解答】解：画出可行域如图所示，目标函数变形为y=，此直线经过图中A时在y轴截距最小Z最大，由得到A（﹣5，﹣2），故z=x﹣3y的最大值为1．故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数f（x）的对称中心；（2）通过，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．【解答】解：（1），=．…令得，，∴函数f（x）的对称中心为．…（2），∵C是三角形内角，∴即：…∴即：a2+b2=7．将代入可得：，解之得：a2=3或4，…∵a＞b，∴．…∴或2，∴．19.函数，,其中,点是函数图像上相邻的两个对称中心，且（1）求函数的表达式；（2）若函数图像向右平移个单位后所对应的函数图像是偶函数图像，求的最小值．参考答案：

略20.已知，，其中是自然常数，.（1）当时，求的极值，并证明恒成立；（2）是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：(1)详见解析;(2).试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的极小值，令，求出h（x）的最大值，从而证出结论即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，求出a的值即可．（2）假设存在实数，使有最小值，.①当时，在上单调递减，，（舍去），∴时，不存在使的最小值为3.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，，满足条件.③当时，在上单调递减，，（舍去），∴时，不存在使的最小值为.综上，存在实数，使得当时，有最小值.【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，涉及到不等式恒成立的证明和探索是否存在实数a,使有最小值，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用分类讨论思想进行解题.21.如图5，在直三棱柱中，D、E分别是BC和的中点，已知AB=AC=AA1=4，DBAC=90°.（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.参考答案：方法一：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）.

（1分）（1），，. （2分）因为，所以，即.

（3分）因为，所以，即.

（4分）又AD、AEì平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面.

（5分）（2）由（1）知为平面AED的一个法向量.

（6分）设平面B1AE的法向量为，因为，，所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）∴，

（8分）∴二面角的余弦值为.

（9分）（3）由，，得，所以AD⊥DE.（10分）由，，得.

（11分）由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且， （12分）所以.

（13分）

方法二：依题意得，平面ABC，，，，.（1）∵，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵B1B⊥平面ABC，ADì平面ABC，∴AD⊥B1B.BC、B1Bì平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.又B1Dì平面B1BCC1，故B1D⊥AD.

（2分）由，，，得，所以.

（4分）又AD、DEì平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面.

（5分）（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.由B1D⊥平面AED，AEì平面AED，得AE⊥B1D.又B1D、DMì平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1DM.因为B1Mì平面B1DM，所以B1M⊥AE.故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角.

（7分）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，又DEì平面B1BCC1，所以AD⊥DE.在Rt△AED中，，

（8分）在Rt△B1DM中，，所以，即二面角B1—AE—D的余弦值为.（9分）（3）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且.

（10分）由（1）得.

（11分）故.

（13分）

22.（12分）（2013?福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．

【专题】导数的综合应用．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由