广东省深圳市东方香港人子弟学校2022年度高三数学理月考试题含解析

广东省深圳市东方香港人子弟学校2022年度高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g[f（﹣7）]=（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】先设x＜0，则﹣x＞0，根据函数的奇偶性，即可求出g（x），再代值计算即可．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=log2（﹣x+1），∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴g（x）=﹣log2（﹣x+1）（x＜0），∴f（﹣7）=g（﹣7）=﹣log2（7+1）=﹣3，∴g（﹣3）=﹣log2（3+1）=﹣2，故选：D．【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数解析式的求法以及函数值的求法，属于基础题．2.变量x、y满足约束条件，则的最小值为A.-3

B.-2

C.0

D.6参考答案：C3.如图21－7所示程序框图，若输出的结果y的值为1，则输入的x的值的集合为()图21－7A．{3}

B．{2,3}C．

D．参考答案：C4.命题“都有”的否定是（

）A、使得

B、使得

C、使得

D、使得参考答案：【知识点】命题的否定；A2【答案解析】

C解析：解:带有全称量词的否定，要把全称量词改成特称量词，结论要变成否定形式，所以C选项正确.【思路点拨】根据命题之间的关系直接求出正确结果.5.设函数（，）的最小正周期为π，且，则（

）A．在单调递减

B．在单调递减

C.在单调递增

D．在单调递增参考答案：A6.命题的否定为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.设函数是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为(

)

A．(-∞，2)

B．(-∞，]

C．(0,2)

D．[,2)参考答案：B8.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是(

)

A.

B.100

C.92

D.84参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2B

解析：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100．故选B．【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．9.在中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件。

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略10.等比数列中，，是数列前项的和，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀,其中米,米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块,使点在边上.

则矩形面积的最大值为

平方米.参考答案：48

略12.设奇函数，满足对任意都有，且时，，则的值等于_____________.参考答案：

略13.若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_____；双曲线C的渐近线方程是____．参考答案：，【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线【试题解析】双曲线的渐近线方程为：

圆的圆心为（2，0），半径为1．

因为相切，所以

所以双曲线C的渐近线方程是：

故答案为：，14.函数的定义域为__________．参考答案：略15.已知函数f（x）=（a﹣）sinx+（a+1）cosx，将f（x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若对任意x∈R，都有g（x）≤|g（）|成立，则a的值为

．参考答案：2【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用辅助角公式化简f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得a的值．【解答】解：已知函数f（x）=（a﹣）sinx+（a+1）cosx=sinx+acosx+cosx﹣sinx=asin（x+）+2cos（x+）=sin（x++α），（cosα=，sinα=），将f（x）图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，得到g（x）=sin（x﹣++α）=sin（x+α）≤|sin（+α）|=，∴α=，=，求得a=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查辅助角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．16.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是

.参考答案：略17.设数列满足，，则．参考答案：81三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2（I）求函数f（x）的解析式并讨论单调性（II）证明对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）由奇函数的定义利用待定系数法求得d，再由x=1时f（x）取得极值﹣2．解得a，c从而确定函数，再利用导数求单调区间和极大值．（II）由（I）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，从而确定|f（x1）﹣f（x2）|最小值，证明即可．【解答】解：（I）∵f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）可得d=0，∴f（x）=ax3+cx…f'（x）=3ax2+c，当x=1时f（x）取得极值﹣2，则，解得，故所求解析式为f（x）=x3﹣3x．因此，f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）f'（﹣1）=f'（1）=0当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（﹣∞，﹣1）上是增函数，当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（﹣1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数，∴f（x）单调递增区间（﹣∞，﹣1），（1，+∞）单调递减区间（﹣1，1）；（II）证明：由（1）知，f（x）=x3﹣3x（x∈[﹣1，1]）是减函数，且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2，f（x）在[﹣1，1]上的最小值m=f（1）=﹣2所以，对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m=2﹣（﹣2）=4，∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．19.已知函数f（x）=x3﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围、参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．.专题：计算题．分析：（1）先求导数f'（x）=3x2﹣3，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）先将过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x3﹣3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x3﹣3x2+m+3，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．解答：解：（1）f'（x）=3x2﹣3，f'（2）=9，f（2）=23﹣3×2=2（2分）∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0（4分）（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0）则y0=x03﹣3x0，k=f'（x0）=3x02﹣3．则切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0）（6分）将A（1，m）代入上式，整理得2x03﹣3x02+m+3=0．∵过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线∴方程2x3﹣3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根、（8分）记g（x）=2x3﹣3x2+m+3，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1）、令g'（x）=0，x=0或1、（10分）则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）递增极大递减极小递增当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2、（12分）由题意有，当且仅当即时，函数g（x）有三个不同零点、此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（﹣3，﹣2）（14分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．20..已知向量（Ⅰ）若方向上的投影为，求的值；（Ⅱ）向量的夹角为锐角；求的范围参考答案：（2）=，又向量的夹角为锐角所以0

又当、共线且同向时

夹角为0,

而cos0=1>0=k

(k>0)

=k

即时两向量夹角为0；综上范围为{}.略21.已知．(1)

求函数在上的最小值；(2)

对一切，恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明:对一切，都有成立．参考答案：(2)

，则，………..8分设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以……….10分因为对一切，恒成立，所以；………………..12分（3）问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到………