河南省八校2022年高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．2．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（）A． B．C． D．3．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（）A． B． C． D．4．已知满足，，,则在上的投影为（）A． B． C． D．25．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A． B． C． D．7．若，则()A． B． C． D．8．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（）A． B．2 C． D．9．已知向量与向量平行，，且，则（）A． B．C． D．10．若时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A． B． C． D．12．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若，则________.14．在平面直角坐标系中,点在曲线：上,且在第四象限内．已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________．15．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________，此时a=____________.16．设的内角的对边分别为，，．若，，，则_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.18．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若从所有员工中任选3人，记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望.19．（12分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数只有一个零点，求正实数的值.20．（12分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．21．（12分）已知函数（1）当时，若恒成立，求的最大值；（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.22．（10分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，（1）求的值；（2）求边的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．B【解析】

由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.【详解】解：由图象知，，则，图中的点应对应正弦曲线中的点，所以，解得，故函数表达式为．故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.3．D【解析】

设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，设，得，求出的值，即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，所以，.设，则，又.故，所以.故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．A【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.5．A【解析】

作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．【详解】作出函数的图象如图，由图可知，，函数有2个零点，即有两个不同的根，也就是与在上有2个交点，则的最小值为；设过原点的直线与的切点为，斜率为，则切线方程为，把代入，可得，即，∴切线斜率为，∴k的取值范围是，∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．6．D【解析】

可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出，这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.7．D【解析】

直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．【详解】∵，∴，故选D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．D【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为，∴解得.故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.9．B【解析】

设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.10．D【解析】

由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.【详解】由题得对恒成立，令，在单调递减，且，在上单调递增，在上单调递减，，又在单调递增，，的取值范围为.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.11．C【解析】

根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.12．B【解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解.【详解】，，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

由题意先求得的值，可得，再令，可得结论．【详解】已知，，，，令，可得，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14．【解析】

先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.【详解】解:依题意设切点,因为,则,又因为曲线在点处的切线为,,解得,又因为点在第四象限内,则,.则又因为点在切线上.所以.所以.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.15．3【解析】

根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，正数a、b满足，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.故答案为：3；.【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.16．或【解析】试题分析：由，则可运用同角三角函数的平方关系：，已知两边及其对角，求角．用正弦定理；，则；可得．考点：运用正弦定理解三角形．（注意多解的情况判断）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.【详解】(1)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数)，两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为(t为参数)．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，将(t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.18．（1）；（2）①82，②分布列见解析，【解析】

（1）从20人中任取3人共有种结果，恰有1人成绩“优秀”共有种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】（1）设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件，则，所以，恰有1人“优秀”的概率为.（2）组别分组频数频率120.01260.03380.04440.02①，估计所有员工的平均分为82②的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“优秀”的概率为，∴；；；；∴的分布列为0123∵，∴数学期望.【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容易题.19．（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）把转化成，令，由题意得，即证明恒成立，通过导数求证即可（2）直接求导可得，，令，得或，故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【详解】证明：（1）令，则.分析知，函数的增区间为，减区间为.所以当时，.所以，即，所以.所以当时，.解：（2）因为，所以.讨论：①当时，，此时函数在区间上单调递减.又，故此时函数仅有一个零点为0；②当时，令，得，故函数的增区间为，减区间为，.又极大值，所以极小值.当时，有.又，此时，故当时，函数还有一个零点，不符合题意；③当时，令得，故函数的增区间为，减区间为，.又极小值，所以极大值.若，则，得，所以，所以当且时，，故此时函数还有一个零点，不符合题意.综上，所求实数的值为.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题，本题的难点在于把导数化成因式分解的形式，如，进而分类讨论，本题属于难题20．（1）答案见解析．（2）答案见解析【解析】

（1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）两式相加得（2）由（1）知于是，．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.21．（1）；（2）【解析】

（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即