山东省青岛市第六十一中学2022年度高三数学理模拟试卷含解析

山东省青岛市第六十一中学2022年度高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，，，若平面内点P满足，则的最大值为（

）A.7 B.6 C.5 D.4参考答案：C【分析】设，，根据可得，再根据可得点的轨迹，它一个圆，从而可求的最大值.【详解】设，，故，.由可得，故，因为，故，整理得到，故点的轨迹为圆，其圆心为，半径为2，故的最大值为，故选：C.【点睛】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.2.若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：A3.（5分）已知双曲线﹣=1（b∈N*）的两个焦点F1，F2，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．D．参考答案：D【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：通过等比数列的性质和双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|2=20+3b2．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值，求出c，再由离心率公式计算即可得到．解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，即4c2=|PF1||PF2|，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=16，可得|PF1|2+|PF2|2﹣8c2=16…①设∠POF1=θ，则∠POF2=π﹣θ，由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2﹣2|OF2||OP|cos（π﹣θ），|PF1|2=c2+|OP|2﹣2|OF1||OP|cosθ，|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．所以b=1．c==，即有e==．故选：D．【点评】：本题考查双曲线的定义、方程和性质，余弦定理以及等比数列的应用，是一道综合问题，考查分析问题解决问题的能力．4.在△ABC中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A略5.若a，4，3a为等差数列的连续三项，则（

）A.1023 B.1024 C.2047 D.2048参考答案：C【分析】由，4，为等差数列的连续三项，可以求出的值，然后利用等比数列的前和公式求出的值.【详解】因为，4，为等差数列的连续三项，所以，，故本题选C.【点睛】本题考查了等差中项、以及等比数列的前和公式，考查了数学运算能力.6.函数有两个极值点，则实数m的取值范围是（

）A．

B．(－∞,0)

C.(0,1)

D．(0,+∞)参考答案：A在上有两个的零点，即有两个不同的交点，设为图像上任意一点，由于，以为切点的切线方程为，切线过点时，得，即，

此时切线的斜率，故满足条件时有，即，故选A.

7.实数x，y满足条件,则的最小值为A．16 B．4 C．1

D．参考答案：D8.复数满足,则复数z在复平面内对应的点位于(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第三象限参考答案：D9.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为(

)（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C因为.所以点M取自E内的概率为10.下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则不等式的解集为

．参考答案：略12.在区间[1，3]上随机选取一个数(e为自然对数的底数）的值介于e到e2之间的概率为________.参考答案：数的可取值长度为，满足在e和之间的的取值长度为1，故所求事件的概率为.13.正方形ABCD的中心为（3，0），AB所在直线的方程为x﹣2y+2=0，则正方形ABCD的外接圆的方程为．参考答案：（x﹣3）2+y2=10【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】确定正方形ABCD的外接圆的圆心为（3，0），利用点到直线的距离公式，可求半径，从而可得圆的方程．【解答】解：由题意，正方形ABCD的外接圆的圆心为（3，0），∵（3，0）到直线AB的距离为=∴圆的半径为=∴正方形ABCD的外接圆的方程为（x﹣3）2+y2=10故答案为：（x﹣3）2+y2=10．【点评】本题考查圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．14.=．参考答案：【考点】极限及其运算．【分析】利用裂项求和，再求极限，可得结论．【解答】解：=（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）==，故答案为．15.已知向量，的夹角为，且|=1，，|=

．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积化简求解即可．【解答】解：向量，的夹角为，且|=1，，可得：=7，可得，解得|=3．故答案为：3．16.平面向量与的夹角为60°，，，则等于.

．参考答案：17.如上右图：是的直径，点在的延长线上，且，切于点，于点，则

；

．

参考答案：,略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，设bn=Sn﹣3n．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=2log2bn﹣+2，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．计算题；证明题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由an+1=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n），从而得到bn+1=2bn，于是有：数列{bn}是等比数列，可求得b1=1，从而可求得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣，设M=1++++…++…①则M=++++…++…②，利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn．证明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+3n，∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）∴bn+1=2bn…（4分）又b1=S1﹣3=a1﹣3=1，∴{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，故数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…（8分）设M=1++++…++…①则M=++++…++…②①﹣②得：M=1+++++…+﹣=2﹣﹣，∴M=4﹣﹣=4﹣，∴Tn=n（n+1）+﹣4…（12分）【点评】：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式，突出考查了错位相减法，考查分析与转化的能力，属于中档题．19.(本题满分12分)如图，是以为直径的半圆上异于点的点，矩形所在的平面垂直于该半圆所在平面，且．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)设平面与半圆弧的另一个交点为

①.求证：//;②.若，求多面体的体积V.参考答案：(Ⅰ)∵E是半圆上异于A、B的点，∴AE⊥EB,又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，由面面垂直性质定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，且二面交线为EB，由面面垂直性质定理得：AE⊥平面ABE，又EC在平面ABE内，故得：EA⊥EC…………4分(Ⅱ)①由CD//AB，得CD//平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE于直线EF，∴根据线面平行的性质定理得：CD//EF，CD//AB，故EF//AB

…………7分②分别取AB、EF的中点为O、M，连接OM，则在直角三角形OME中，，因为矩形所在的平面垂直于该半圆所在平面，即OM为M到面ABCD之距，又//，E到到面ABCD之距也为，

…………9分则

…………12分20.已知函数，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，对于，求证：．参考答案：解：(Ⅰ)函数的定义域为，．①当时，，在上为增函数.②当时，若，,在上为增函数；若，,在上为减函数.综上所述，当时，在上为增函数.当时，在上为增函数，在上为减函数.

(Ⅱ)，使得不等式成立，，使得成立，令，则，当时，，，，，从而在上为减函数，

(Ⅲ)当时，，令，则，，且在上为增函数.设的根为，则，即.当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，，，由于在上为增函数，.

略21.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．（I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆相交于、两点，为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．参考答案：（I）依题意，可设椭圆的方程为．

由

∵椭圆经过点，则，解得∴椭圆的方程为······························································································（II）联立方程组，消去整理得·························∵直线与椭圆有两个交点，∴，解得

①·············································∵原点在以为直径的圆外，∴为锐角，即．而、分别在、上且异于点，即···············································设两点坐标分别为，则

解得

，

②·····················································综合①②可知：

22.某图书公司有一款图书的历史收益率（收益率=利润÷每本收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（用区间中点值代替每一组的数值）（2）根据经验，若每本图书的收入在20元的基础上每增加元，对应的销量（万