安徽省黄山市第一中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

安徽省黄山市第一中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中,已知三点,O为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为(

)A．

B．

C.12

D．144参考答案：B本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量与在向量市方向上的投影相同,所以，,即点在直线上的最小值为原点到直线的距离的平方,因为，所以的最小值为.2.已知定义在上的函数满足下列三个条件：①对任意的都有，②对于任意的，都有， ③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是

（

）A． B．C．

D．参考答案：B3.如图所示，在中，，,高，在内作射线交于点，则的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A.考点：集合的运算.5.若对任意的x＞1，函数x+xlnx≥k（3x﹣e）（其中e是白然对数的底数，e=2.71828…），则实数k的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】整理不等式得≥k恒成立，只需求出左式的最小值即可．构造函数，利用导函数求出函数的最小值．【解答】解：不等式可整理为≥k恒成立，令f（x）=，f'（x）=，令h（x）=3x﹣2e﹣elnx，∴h'（x）=3﹣＞0，则h（x）为增函数，令h（x）=0得3x﹣2e﹣elnx=0，∴x=e，当x∈（1，e），f'（x）＜0，f（x）递减，当x∈（e，+∞），f'（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）≥f（e）=1，∴k≤1，故选A．【点评】考查了恒成立问题的转化，构造函数，利用导函数判断函数的单调性．6.某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有

（

）

A．288种

B．72种

C．42种

D．36种参考答案：D7.“x≠3”是“|x﹣3|＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件参考答案：C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意看命题“x≠3”与命题“|x﹣3|＞0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：对于“x≠3”?“|x﹣3|＞0”；反之“|x﹣3|＞0”?“x≠3”一定成立，因此“x≠3”是“|x﹣3|＞0”的充分必要条件，故选C..点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．8.三棱柱的底面是边长为1的正三角形，高，在上取一点，设与底面所成的二面角为，与底面所成的二面角为，则的最小值是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知向量满足,且,则在方向的投影为（）A．3 B．. C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在处取极值，则

参考答案：3解析：f’(x)＝

f’(1)＝＝0

T

a＝312.数列{an}中，a1=2，a2=7，an+2是anan+1的个位数字，Sn是{an}的前n项和，则S242﹣10a6=

．参考答案：909【考点】数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过题意可得a1a2=14、a3=4，同理可得：a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，以此类推可得：a6n+k=ak（k∈N*，k≥3），进而可得结论．【解答】解：∵a1=2，a2=7，an+2是anan+1的个位数字，∴a1a2=14，∴a3=4．∴a2a3=28，∴a4=8，a3a4=32，∴a5=2，a4a5=16，∴a6=6，a5a6=12，∴a7=2，a6a7=12，∴a8=2，a7a8=4，∴a9=4，a8a9=8，∴a10=8，…以此类推可得：a6n+k=ak（k∈N*，k≥3）．∴S242=a1+a2+40（a3+a4+a5+a6+a7+a8）=2+7+40×（4+8+2+6+2+2）=969，∴S242﹣10a6=969﹣10×6=909．故答案为：909．【点评】本题考查数列的周期性，考查推理能力与计算能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．13.在中,分别是角的对边,且,则角的大小为

参考答案：14.不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______．参考答案：(2，＋∞)15.平面向量与的夹角为，，，则=________.参考答案：略16.二项式展开式中，除常数项外，各项系数的和为

．参考答案：671

17.不共线的两个向量，且与垂直，垂直，与的夹角的余弦值为____．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知函数在上的最大值为,当把的图象上的所有点向右平移个单位后,得到图象对应的函数的图象关于直线对称.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)在中,三个内角所对的边分别是,已知在轴右侧的第一个零点为,若,求的面积的最大值.参考答案：(Ⅰ)由题意知，函数在区间上单调递增，所以，…………2分,得，…………3分经验证当时满足题意，故求得,所以，…………4分故，又，所以=.故.…………6分(Ⅱ)根据题意，，又…………8分得：，…………10分.∴S=,∴S的最大值为.…………12分19.已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝lnx.(1)当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值；(2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围；(3)当a＞0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式.参考答案：20.若集合，其中，且．如果，且中的所有元素之和为403．(1）求；

(2）求集合．参考答案：（1）由可知必为某两个正整数的平方，而，故必有(2）由（1）知，而于是又必有于是中的所有元素之和为403，因为，逐一检验：当时：由当时，必须有，这与矛盾综上所述21.（本小题满分12分）某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：(Ⅰ)求、的值；(Ⅱ)若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率.参考答案：解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为，

…………2分所以，40名学生中成绩在区间的学生人数为（人）.……4分（Ⅱ）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一

名学生成绩在区间内”，由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为，成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为.…………6分

则选取学生的所有可能结果为：

，

基本事件数为15，………………8分事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为：，基本事件数为9，

…………10分所以.

………12分略22.（本小题满分14分）已知函数.

⑴求函数的最小值；⑵若≥0对任意的恒成立，求实数a的值；

⑶在⑵的条件下，证明：.参考答案：解：（1）由题意，由得.

当时,；当时，.

∴在单调递减，在单调递增.

即在处取得极小值，且为最小值，

其最小值为

（5分）

（2）对任意的恒成立，