四川省成都市第四十六中学2022年高三数学理联考试卷含解析

四川省成都市第四十六中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某班进行班干部选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出3人分别担任班长、副班长、团支书，则上届任职的甲、乙、丙三人没有连任原职的概率是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形参考答案：B【考点】解三角形．【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，∴=，∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选B3.已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．4.已知的导函数，若满足，且，则的解析式可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为，所以舍去B;因为导数为，，舍A;因为导数为，，满足题意;因为导数为，，舍D;综上选C.

5.在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3表示二个小时内的平均价格为3元)，下图给出的四个图像，其中实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是

（）参考答案：C略6.已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=ax与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．7.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（） A．①②③ B． ①③ C． ①②③④ D． ①③④参考答案：D略8.若曲线与曲线在交点处有公切线，则A. B.0 C.1 D.2参考答案：C略9.已知函数f（x）=x+ex﹣a，g（x）=ln（x+2）﹣4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．﹣ln2﹣1 B．﹣1+ln2 C．﹣ln2 D．ln2参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用．【分析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，运用导数求出y=x﹣ln（x+2）的最小值；运用基本不等式可得ex﹣a+4ea﹣x≥4，从而可证明f（x）﹣g（x）≥3，由等号成立的条件，从而解得a．【解答】解：令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A．10.各项互不相等的有限正项数列,集合,集合,则集合中的元素至多有(

)个. A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，，，，则

．参考答案：∵，可得，①∴两边平方可得，，解得：，∵，可得：，②∴由①②解得：，又∵，可得：，两边平方，可得：，，∴．故答案为．12.已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为。参考答案： 13.设实数满足不等式组,则的取值范围是__________.参考答案：[-1,1]14.已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆(a＞b＞0)的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c），代入椭圆方程，可得=1，由此即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，p=2c，P（，c），即P（2c，c）代入椭圆方程，可得=1，整理可得e4﹣6e2+1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为．15.已知向量，满足||=2，||=1，|﹣2|=2，则与的夹角为

．参考答案：120°．【分析】利用向量的运算律将已知等式展开，利用向量的数量积公式及向量模的平方等于向量的平方，求出向量夹角的余弦，求出夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，∵||=2，||=1，|﹣2|=2，∴|﹣2|2=||2+4||2﹣4||?||cosθ=4+4﹣4×2×1×cosθ=12，即cosθ=﹣，∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°，故答案为：120°．16.已知函数，对任意的，总存在，使，则实数a的取值范围是_________.参考答案：略17.若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数的取值范是

.[参考答案：(-1,0)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线和的焦点分别为F1，F2，点且为坐标原点）．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求面积的最小值．参考答案：（1）；（2）8.【分析】（1）根据为坐标原点），利用坐标运算即可求出，写出抛物线方程；（2）联立直线与抛物线方程求出的坐标，写出弦长，求出到直线的距离，写出面积，利用换元法求其最值即可.【详解】（1）F1（1，0），，∴，，∴p=2，∴抛物线C2的方程为x2=4y；（2）设过点O的直线为y=kx，联立得（kx）2=4x，求得M（，），联立得N（4k，4k2）（k＜0），从而，点P到直线MN的距离，进而=，令，有S△PMN=2（t-2）（t+1），当t=-2时k=-1，取得最小值．即当过原点直线为y=-x，△PMN面积的面积取得最小值8．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，求交点，考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．19.已知函数（为常数）.(1)当时,求的极值；(2)设函数，若时,恒成立,求的取值范围.参考答案：(1)

（）当时,，显然是减函数；当时,,，时,。综上，分别在，是减函数，在增函数，。（2）时,恒成立，先有，求得：，所求的取值在此范围上讨论即可。当时，恒成立，显然；k*s@5%u当时，只须，即恒成立。设在是增函数，……………（1）当时，同理化得只须恒成立，，，在是增函数。得，此时，……………（2）综上，时,恒成立，的取值范围是。20.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．参考答案：（1）可等价为.由可得：①当时显然不满足题意；②当时，，解得；③当时，恒成立.综上，的解集为.（2）不等式等价为，令，则解集非空只需要.而.①当时，；②当时，；③当时，.综上，，故.21.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（II）利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ），，，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列为X05001000P（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值，若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B，则，抽奖所获奖金X的均值E（X）=E=400E（ξ）=480，故选择方案甲较划算．22.宜昌市教育主管部门到夷陵中学调查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（