吉林省长春市市第五十二中学2022年高二数学理月考试卷含解析

吉林省长春市市第五十二中学2022年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选D．2.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（

）参考答案：A3.当0<a<1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只能是下图中的()参考答案：D略4.已知是两个命题，若“”是假命题，则A．都是假命题

B．都是真命题C．是假命题是真命题

D．是真命题是假命题参考答案：D5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝a，则()A．a>b

B．a<b

C．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定参考答案：A6.若抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标为A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则该数列的第项等于A.27

B．

C．

D．8参考答案：B8.若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是(

)A．“p∨q”为假

B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真

D．以上都不对参考答案：B9.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，

即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的则有“”．其中，正确结论的个数为（）．A．

B．C．

D．参考答案：C略10.若数列{an}是等差数列，，则数列{bn}也为等差数列，类比这一性质可知，若{cn}是正项等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（

）A. B.C. D.参考答案：D将等差数列中的加法和除法分别类比成等比数列中的乘法和开方，可得在等比数列中的表达式应为．选D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察以下三个等式：(1)13＋23＝9；(2)13＋23＋33＝36；(3)13＋23＋33＋43＝100，归纳其特点可以获得一个猜想是13＋23＋33＋…＋n3＝______________.参考答案：略12.设偶函数f(x)对任意x∈R，都有，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，则f(113.5)的值是____________．参考答案：13.曲线在点P（1,3）处的切线方程是__________________________参考答案：14.已知函数,则

▲

.参考答案：015.已知函数y=ax2+b在点（1，3）处的切线斜率为2，则=

．参考答案：2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，可得a的方程，再由切点，可得a+b=3，解得b，进而得到所求值．【解答】解：函数y=ax2+b的导数为y′=2ax，则在点（1，3）处的切线斜率为k=2a=2，即为a=1，又a+b=3，解得b=2，则=2．故答案为：2．16.在△ABC中，若a=2，A=60°，则=

．参考答案：4【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；解三角形．【分析】根据题意，结合正弦定理可得=，将a=2，A=60°代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，由正弦定理可得=，而a=2，A=60°，则===4，即=4，故答案为：4．【点评】本题考查正弦定理的运用，熟练运用正弦定理是解题的关键．17.已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数k的取值范围是____.参考答案：【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，将方程根的个数转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．【详解】函数，由得，得或，此时为增函数，由得，得，此时为减函数，即当时，函数取得极小值，极小值为，当时，函数取得极大值，极大值为，当，，且，作出函数的图象如图：设，则当时方程有3个根，当时方程有2个根，当或时方程有1个根，则方程等价为，若恰有四个不同的实数根，等价为有两个不同的根，当，方程不成立，即，其中或，设，则满足，得，即，即，即实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的分布，求出函数的导数研究的单调性和极值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是BD1，B1C的中点，（1）求证：MN⊥B1C；（2）求三棱锥B1-BCD1的体积.参考答案：

（1）取的中点为，连接在中，，同理在中，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又，平面，所以平面，所以，所以（2）19.已知函数f（x）=ex﹣ax2，e=2.71828…，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b．（1）求a，b的值；（2）设x≥0，求证：f（x）＞x2+4x﹣14．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，得切线方程，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b，即可求a，b的值；（2）由（1）可得f（x）=ex﹣x2，证明f（x）＞x2+4x﹣14，只要证明ex﹣2x2﹣4x+14＞0，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e﹣2）x+b，得，∴a=b=1；（2）证明：由（1）可得f（x）=ex﹣x2，要证f（x）＞x2+4x﹣14，只要证明ex﹣2x2﹣4x+14＞0．设g（x）=ex﹣2x2﹣4x+14，g′（x）=ex﹣4x﹣4，设h（x）=ex﹣4x﹣4，则h′（x）=ex﹣4，∴h（x）在（0，2ln2）上单调递减，（2ln2，+∞）上单调递增，设曲线y=h（x）与x轴的交点为（m，0）∵h（0）=﹣3＜0，h（2）=e2﹣12＜0，h（3）=e3﹣16＞0，∴2＜m＜3，em=4m+4，∵x∈（0，m），g′（x）＜0，x∈（m，+∞），g′（x）＞0，∴g（x）≥g（m）=18﹣2m2，∵2＜m＜3，∴g（x）≥2（9﹣m2）＞0，即f（x）＞x2+4x﹣14．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，属于中档题．20.已知函数f（x）=（a、b为常数），且f（1）=，f（0）=0．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；（Ⅲ）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用奇函数的定义，即可得证；（Ⅲ）f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立，即为2x﹣1＜m?4x，运用参数分离和换元法，结合指数函数和二次函数的值域，可得右边的最大值，即可得到m的范围．解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，，解得a=1，b=﹣1，所以；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．证明如下：f（x）的定义域为R，∵，∴函数f（x）为奇函数；

（Ⅲ）∵，∴，∴2x﹣1＜m?4x∴=g（x），故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立等价于m＞g（x）max令，则y=t﹣t2，则当时，故，即m的取值范围为．点评：本题主要考查函数的解析式、奇偶性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，抽象概括能力，考查化归的思想．21.（本小题满分13分）设。（1）求的值；（2）归纳{}的通项公式，并用数学归纳法证明。参考答案：解：（1）…4分

（2）根据计算结果，可以归纳出

………..6分

证明：①当n=1时,与已知相符，归纳出的公式成立。……8分

②假设当n=k()时，公式成立，即那么,

所以，当n=k+1时公式也成立。…12分

由①②知，时，有成立。……….13分略22.已知a1=3，an=2an﹣1+（t+1）?2n+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N*）（1）t=0，m=0时，求证：是等差数列；（2）t=﹣1，m=是等比数列；（3）t=0，m=1时，求数列{an}的通项公式和前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）两边同除以2n，由等差数列的定义，即可得证；（2）两边同加上3，由等比数列的定义，即可得证；（3）两边同除以2n，可得=+1+，即为==1+，再由数列恒等式，可得数列{an}的通项公式；再由错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：t=0，m=0时，an=2an﹣1+2n，两边同除以2n，可得=+1，即有是首项为，公差为1的等差数列；（2）证明：t=﹣1，m=时，an=2an﹣1+3，两边同加上3，可得an+3=2（an﹣1+3），即有数列{an+3}为首项为6，公比为2的等比数列；（3）t=0，m=1时，an=2an﹣1+2n+3，两边同除以2n，可得=+1+，即为==1+，即有得=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=+