2022年湖南省邵阳市茶卜中学高三数学理联考试题含解析

2022年湖南省邵阳市茶卜中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于(

)．A.17cm

B.

C.16cm

D.14cm参考答案：D2.若两个非零向量、，满足，则向量与的夹角（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先对等式平方得到，模长关系为：，再利用夹角公式计算向量与的夹角得到答案.【详解】若两个非零向量、，满足分别平方：故答案选C【点睛】本题考查了向量的计算，向量的夹角公式，属于常考题型，意在考查学生的计算能力.3.已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是

（

）A．椭圆

B．圆

C．抛物线

D．双曲线参考答案：D4.右边的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩(单位：分)，已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是(

)(A)x甲＝76，x乙＝75(B)甲数据中x＝3，乙数据中y＝6(C)甲数据中x＝6，乙数据中y＝3(D)乙同学成绩较为稳定参考答案：C因为甲得分的中位数为76分，所以x＝6，因为乙得分的平均数是75分，所以解得y＝3，故选C.5.若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=x2+3x+1，则f（x）=（）A．x2 B．2x2 C．2x2+2 D．x2+1参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇偶函数性质得到f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），代入已知等式得到关系式，与已知等式联立即可求出f（x）．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x），∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），代入已知等式f（x）+g（x）=x2+3x+1①，得：f（﹣x）+g（﹣x）=x2﹣3x+1，即f（x）﹣g（x）=x2﹣3x+1②，联立①②，解得：f（x）=x2+1，故选：D．6.若集合，，若，则的值为（

）A．2

B．-2

C．-1或2

D．2或参考答案：A7.“”是“对任意的正数，”的

Ａ．充分不必要条件

Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件参考答案：答案：A8.设实数x，y满足：，则的最小值是（

）A.－2 B.－4 C.0 D.4参考答案：B【分析】由约束条件作出可行域，利用z的几何意义，可得z的最小值.【详解】解：由已知不等式作出不等式组表示的平面区域如图：可得直线经过的交点时z最小，可得此点为（-2，1），可得z的最小值为-4，故选B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，作出可行域后进行分析是解题的关键.9.设全集,，则图中阴影部分表示的集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B，.图中阴影部分为，所以，所以，选B.10.若a是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为

．参考答案：12.二项式（2x2﹣）n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等，则展开式的第3项的系数为．参考答案：80【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由展开式中第3项与第4项的二项式系数相等可得，从而求得n值，再代入通项得答案．【解答】解：由题意可得，∴n=5．则展开式的第3项的系数为．故答案为：80．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是区分项的系数和二项式系数，是基础题．13.函数,已知是函数的一个极值点,则实数

参考答案：5=3x2+2ax+3，则x=－3为方程3x2+2ax+3=0的根，所以14.已知点是锐角的外心，.若，则

参考答案：【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F25如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得，依题意有:，即，，即将两式相加可得：.【思路点拨】由数量积的几何意义，可得，,再根据数量积求得。15.已知α，β∈（0，），满足tan（α+β）=9tanβ，则tanα的最大值为．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切将tan（α+β）=9tanβ转化，整理为关于tanβ的一元二次方程，利用题意，结合韦达定理即可求得答案．【解答】解：∵tan（α+β）=9tanβ，∴=9tanβ，∴9tanαtan2β﹣8tanβ+tanα=0，①∴α，β∈（0，），∴方程①有两正根，tanα＞0，∴△=64﹣36tan2α≥0，∴0＜tanα≤．∴tanα的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查一元二次方程中韦达定理的应用，考查转化思想与方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解决，属于中档题．16.已知函数，，，成立，则实数的取值范围是

参考答案：略17.f（x）=+xcosx在点A（，f（））处的切线方程是

．参考答案：y=（2﹣）x+【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导数，求得切线的斜率，和切点，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：f（x）=+xcosx的导数为：f′（x）=+（cosx﹣xsinx），即有在点A（，f（））处的切线斜率为：k=×2+（﹣×）=2﹣，f（）=+??=，即有在点A（，f（））处的切线方程为y﹣=（2﹣）（x﹣），即为y=（2﹣）x+．故答案为：y=（2﹣）x+．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；（3）求证：（n∈N*）．参考答案：【考点】不等式的证明；函数的零点；利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知k大于f（x）的极大值，或k小于f（x）的极小值．（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．（3）根据（2）的结论，当x＞1时，，令，有，可得，由，证得结论．【解答】解：（1）当时，，定义域是（0，+∞），求得，令f'（x）=0，得，或x=2．∵当或x＞2时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，]、（2，+∞）上单调递增，在上单调递减．∴f（x）的极大值是，极小值是．∵当x趋于0时，f（x）趋于﹣∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，k的取值范围是{k|k＞3﹣ln2，或}．（2）当a=2时，，定义域为（0，+∞）．令，∵，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．

①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；

③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．【点评】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识，属于中档题．19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面底面ABCD，O是BC的中点。（1）求证：平面ABCD；（2）求证：（3）若二面角D—PA—O的余弦值为，求PB的长。参考答案：解之得，所以为所求．20.（本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．参考答案：解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．········4分联立方程组解得，．···············6分（Ⅱ）由题意得，即，························8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．21.(本小题满分15分)已知函数.(1)当时，求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；(2)如果函数，在公共定义域D上，满足，那么就称为的“活动函数”．已知函数，.若在区间(1,+∞)上，函数是的“活动函数”，求实数a的取值范围.参考答案：解：（I）当时，函数，定义域为导函数在上恒成立，所以函数在上单调增

…

2分∴在区间上单调增

∵，

∴在区间上的最大值为和最小值为；

…4分

（2）由题意，且，在区间上恒成立

…6分

令，则，∴函数在上单调减

∵，∴，∴；

…10分

令，则，又由，且，易