2022年湖南省常德市子良学校高三数学文期末试题含解析

2022年湖南省常德市子良学校高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于A. B.C. D.参考答案：D略2.已知集合，则A∪B=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.

3.函数y=f()在定义域R内可导，若()=(2-x)且当时（-1）·()＜0，设a=(0)，b=(0.5)，c=(3)则

A、a＜b＜c

B、c＜a＜b

C、c＜b＜a

D、b＜c＜a参考答案：B4.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（）A．3 B． C．2 D．2参考答案：D【考点】球内接多面体．【分析】根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．【解答】解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则O是O1，O2的中点．设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a2+h2=9．正六棱柱的体积为V==，则V′=3（9﹣3h2），得极值点h=，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为2．故选：D．5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是(

)(1)AC⊥BE；(2)若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为；(3)三棱锥A-BEF的体积为定值；(4)在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条；(5)过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条.A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：A【知识点】单元综合G12对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确．

对于（2），∵AA1∥BB1，AA1?平面BB1DD1，BB1?平面BB1DD1，

∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，

又∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，

∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确；

对于（3）∵S△BEF=×1=，

设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，

∴VA-BEF=××=，故（3）正确；

对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，

则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．

故（4）正确；对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条．

并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；【思路点拨】根据题意，依次分析：如图可知BE?平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；

根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2）项；设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A-BEF的体积可得判断（3）项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．6.阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为(

) A．30 B．45 C．63 D．84参考答案：C考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为63．解答： 解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=3，不满足条件i＞5，i=2，S=9不满足条件i＞5，i=3，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=30不满足条件i＞5，i=5，S=45不满足条件i＞5，i=6，S=63满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为63．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7.在（x﹣）5的展开式中x3的系数等于﹣5，则该展开式项的系数中最大值为（）A．5 B．10 C．15 D．20参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【分析】在（x﹣）5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，可得x3的系数．再根据x3的系数等于﹣5，求得r的值，可得该展开式项的系数中最大值．【解答】解：由于（x﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣a）r?x5﹣2r，令5﹣2r=3，求得r=1，故x3的系数等于=﹣5，a=1．则该展开式项的系数中最大值为=10，故选：B．8.

长方体的对角线长度是，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是

（）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C9.设随机变量服从正态分布，若，则的值为（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6参考答案：B【分析】根据正态密度曲线的对称轴得出，然后利用正态密度曲线的对称性得出可得出答案。【详解】随机变量服从正态分布，所以，，，，故选：B。【点睛】本题考查正态分布的应用，意在考查正态密度曲线的对称性，属于基础题。10.一个空间几何体的正视图，侧视图如下图，图中的单位为cm，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是

（

）

A．cm2

B．cm2

C．cm2

D．20cm2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为

.参考答案：略12.设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为________.参考答案：略13.若函数为偶函数，则实数

参考答案：014.已知，，则．参考答案：略15.已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a=1,2cosC+c=2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。参考答案：略16.已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_____；渐近线方程为_________.参考答案：17.已知等差数列中，有成立．类似地，在正项等比数列中，有_____________________成立．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心.（Ⅰ）求证∥面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求面截三棱锥所得的较大几何体的体积.参考答案：证明：（Ⅰ）连结并延长交于点，连结、.

--------------1分为正三角形的中心，∴,

又，∴∥,

--------------2分平面，平面

--------------3分∴∥面．

--------------4分（Ⅱ）,且为中点,∴,

又平面平面，∴平面．

--------------5分由（Ⅰ）知，∥，∴平面,

∴

--------------6分连结,则,

又,∴平面,

--------------7分∴．

--------------8分（Ⅲ）连结并延长交于点,连结,则面将三棱锥截成三棱锥和四棱锥两个几何体.

--------------9分

-----------10分

--------------11分∴所截较大部分几何体的体积为.

--------------12分

略19.已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a≤0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）＞0（x∈（0，1）；当a＞0时，只需求f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，让最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=＜=．【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．20.2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登录，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记着调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）.（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民捐款情况如下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元60

捐款不超过500元

10

合计

图2

附：临界值表：P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024

随机变量K2=参考答案：解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有人，经济损失超过4000元的有100-70=30人，

则表格数据如下

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元602080捐款不超过500元101020合计7030100

由于，所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.由题意知的取值可能有，

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30

捐款不超过500元

6

合计

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30

捐款不超过500元

6

合计

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30

捐款不超过500元

6

合计

，，，，

，从而的分布列为

，

21.（本小题满分14分）如图，已知椭圆C：的离心率，短轴的右端点为B，M（1，0）为线段OB的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）满足条件的点N存在，坐标为.试题分析：（Ⅰ）由题意知,,由，得（Ⅱ）假设存在满足条件的点N，坐标为（t，0），其中t为常数.由题意直线PQ的斜率不为0，可得直线PQ的方程可设为：,；设,联立，消去x得：,