2022年度湖北省荆州市洪湖铁牛中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年度湖北省荆州市洪湖铁牛中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数?()A、1B.i

C、－1D.－i参考答案：D由复数四则运算规律知，故选D.

2.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则=（）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.函数，若方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．[0，+∞）参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】由题知f（x）为分段函数，当x＜0时，由f（x）=f（x+1）可知f（x）为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=﹣x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=﹣x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数的图象如图所示，作出直线l：y=a﹣x，向左平移直线l观察可得函数y=f（x）的图象与函数y=﹣x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根，即有a＜1，故选：C．【点评】本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想．4.设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b参考答案：A【考点】指数函数综合题．【分析】对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选A．5.已知下列四个命题：①平行于同一直线的两平面互相平行；②平行于同一平面的两平面互相平行；③垂直于同一直线的两平面互相平行；④与同一直线成等角的两条直线互相平行。其中正确命题是（

）A．①②

B．②③

C．③④

D．②③④参考答案：B略6.x＞1是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．.专题：不等式的解法及应用．分析：先解出的解，再判断两命题的关系即可．解答：解：由，得：x＞1或x＜0，∴x＞1能推出；反之，则由x＞1或x＜0，不可以推出x＞1，故前者是后者的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．7.已知函数，则是

（

）A.最小正周期为的偶函数

B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数参考答案：A8.已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于

(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D9.已知集合,，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线y=与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则=

参考答案：略12.一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率等于．（用分数作答）参考答案：试题分析：根据题意可知总共有种不同的摸法，而摸出的球全是红球有种摸法，所以则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为.考点：随机事件的概率.13.若动直线与函数的图象分别交于两点，则的最大值为

▲

．参考答案：2略14.已知函数（1）若a＞0,则的定义域是

;(2)若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是

.参考答案：【答案】

,【解析】（1）当a＞0时，由得,所以的定义域是;

(2)当a＞1时，由题意知;当0<a<1时，为增函数,不合;

当a<0时，在区间上是减函数.故填.15.复数（是虚数单位）的虚部是

▲

参考答案：略16.在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，，点满足，，，则线段在轴上的投影长度的最大值为．参考答案：24略17.在直角坐标系xOy中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆交x轴上方于A、B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为_______.参考答案：①③【分析】根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案；【详解】，，对①，根据向量加法的平行四边形法则，结合，可得成立，故①正确；对②，，由于，没有最大值，没有最大值，故②错误；对③，当时，，，又，，，故③正确；故答案为：①③.【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣e2x﹣1．（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求f（x）的单调区间；（2）当a≤1时，f（x）＜0，求x的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），得到f′（）=0，解出a，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）﹣e2x﹣1，利用对任意x，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=﹣2e2x﹣1，由已知得f′（）=0，即：﹣1=0，所以a=0，…（1分）所以f（x）=ln2x﹣e2x﹣1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣2e2x﹣1，…（2分）由于f′（x）在（0，+∞）上为减函数，而f′（）=0，所以当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）﹣e2x﹣1，…（6分）令g（x）=ln（2x+1）﹣2x（x＞﹣），则g′（x）=，所以，当﹣＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，所以g（x）≤g（0）=0，即：ln（2x+1）≤2x

…（8分）令h（x）=e2x﹣1﹣2x，则h′（x）=2（e2x﹣1﹣1），所以，当x时，h′（x）＞0，当﹣时，h′（x）＜0，所以h（x）≥h（），即：e2x﹣1≥2x．…（10分）所以，对任意x，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，因此，当a≤1时，对任意x＞﹣，ln（2x+1）﹣e2x﹣1＜0，所以x的取值范围为（﹣，+∞）

…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数知识的综合运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．19.（13分）已知的三边分别是，且满足（1）求角A；（2）若，求的面积的最大值.参考答案：【知识点】正弦定理．C8（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）在△ABC中，∵2a=bsinA+acosB，由正弦定理可得∴2=sinB+cosB=2sin（B+），sin（B+）=1，B是三角形内角，∴B=．（Ⅱ）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴22=a2+c2﹣2accos60°，化为a2+c2﹣ac=4．∴4≥2ac﹣ac=ac，当且仅当a=c时取等号．∴S△ABC=acsin60°=ac≤×4=．△ABC面积的最大值：．【思路点拨】（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=，由此求得B的值．（Ⅱ）利用余弦定理和基本不等式即可得出．20.（13分）已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3)，其导函数的图象如图，且f(x)=6lnx+h(x).①求f(x)在x=3处的切线斜率；②若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，求实数m的取值范围；③若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围.参考答案：①，，于是，故，∴f(x)在点（3，f（3））处的切线斜率为0.②由，列表如下：x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)+0－0+f(x)

极大值

极小值

所以f(x)的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）,f(x)的单调递减区间为(1,3).要使f(x)在(m,m+)上是单调函数，m的取值范围为：.③由题意知：恒成立在恒成立.令.令则,21.（本小题满分10分）已知直线为参数),曲线

（为参数）.(I)设与相交于两点,求；(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.参考答案：（I）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.

（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是

,由此当时,取得最小值,且最小值为.22.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC⊥BB1．（2）过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B，∴AC⊥平面A1ABB1，∵BB1?平面A1ABB1，∴AC⊥BB1．解：（2）过点A作AY∥A1B，∵A1B