耦合电感与理想变压器课件

第7章耦合电感与理想变压器

7-1耦合电感的基本概念

7-2耦合电感的去耦等效电路7-3空芯变压器7-4理想变压器7-5全耦合变压器7-1耦合电感的基本概念

7-1-1耦合电感及其电路符号

在电路中，当两个线圈相距较近时，各自线圈上的电流变化会通过磁场相互影响，即两个线圈具有磁耦合，这样的两个线圈称为耦合电感。L1L2cabdML1和L2称为线圈1和线圈2的自感M为两线圈之间的互感“·”号代表两线圈的同名端。

耦合电感的磁耦合程度与线圈的结构、相互位置及周围的磁介质有关，用互感M或耦合系数K表示M与K之间的关系为7-1-2耦合电感的伏安关系i1i2＋－u1＋－u2当线圈中的电流发生变化时，通过每个线圈的总磁链可表示为两分量之和，即如果各线圈电压，电流均采用关联参考方向，由电磁感应定律可得电感元件上的感应电压分别为耦合电感的伏安关系在正弦稳态情况下，耦合电感伏安关系的相量式可写为7-1-3耦合电感的同名端一、同名端的含义当电流从两线圈的一对端子同时流入（或流出）时，若两线圈的自磁通和互磁通参考方向一致，则称这一对端子为同名端，否则为异名端。同名端在电路图中用符号“·”表示。二、列写耦合电感的伏安关系的具体规则1．如果电感上电压和电流参考方向关联，则自感电压为正，否则为负。2．如果电感上的电压和电流参考方向关联，并且电流同时流入（或流出）同名端，或者电压和电流非关联且电流同时流入（或流出）异名端，则互感电压为正，否则为负。[例7-1]

试标出如图(a)耦合电感的同名端。abcdi1i2abcd图(a)图(b)解：设电流同时从a端和c端流入，根据右手法则，i1和i2产生的磁通方向如图(b)所示。每个线圈的自磁通和互磁通方向相反，所以根据同名端的含义可知，a和c端是异名端，a和d或b和c是同名端。对图（a）所示耦合电感其伏安关系为－＋L1L2cabd＋－u1u2i1i2M图(b)7-2耦合电感的去耦等效电路耦合电感的去耦等效就是将耦合电感用无耦合的等效电路来代替，这样对含有耦合电感电路的分析就可等同于一般电路的分析。7-2-1耦合电感串联时的去耦等效耦合电感串联时，两线圈有两种连接方式，即顺串和反串L1L2＋－uiML1L2＋－uiM（a）顺串（b）反串设图中电压、电流为关联参考方向，则根据耦合电感伏安关系可得

其中L为等效电感顺串时，M前为正号；反串时，M前为负号。耦合电感的储能因其储能不可能为负值，因此L必须为正，由此有L1L2＋－uii1i2ML1L2＋－uii1i2M(b)反并

(a)顺并顺并时:M前为正号；反并时:M前为负号由上式可解得:L即为耦合电感并联时的等效电感当顺并时:当反并时:耦合电感并联时储能所以因为所以M的最大值为把实际M值与其最大值之比定义为耦合系数KK介于0与1之间,与M一样是衡量耦合电感耦合程度的参数耦合电感的互感不能大于两自感的几何平均值上式可变换为＋－L1－ML2－Mi1i2u2u1M＋－（a）同名端相接去耦等效

同理可得到异名端相接的等效电路如图(b)所示。由上式可得同名端相接时的去耦等效电路，如图(a)所示＋－L1+ML2+Mi1i2u2u1－M＋－（b）异名端相接去耦等效

[例7-3]

求图（a）、（b）所示电路的输入阻抗。L1L2ZiMRL1L2RZiCM（a）（b）解：图(a)的去耦等效电路如图(c)所示L1－ML2－MMRZi（c）图(b)的去耦等效电路如图(d)所示L1L2RZiCM（b）RL1+L2－M（d）7-3空芯变压器变压器也是电路中常用的一种器件，其电路模型由耦合电感构成。空芯变压器：耦合电感中的两个线圈绕在非铁磁性材料的芯子上，则构成空芯变压器铁芯变压器：耦合电感中的两个线圈绕在铁芯上，则构成铁芯变压器空芯变压器和铁芯变压器的主要区别：前者属松耦合，耦合系数K较小，后者属紧耦合，耦合系数K接近于1。变压器中的两个线圈，一个与电源相连，称为初级线圈，一个与负载相连，称为次级线圈，其电路模型如图(a)所示RLi1i2＋－R1uSR2ML2L1（a）＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM（b）当输入为正弦信号时，该电路的相量模型如图(b)所示两回路的KVL方程为：＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM（b）

令求解以上方程可得：空芯变压器从电源端看进去的输入阻抗为初级回路的自阻抗次级回路在初级回路的反映阻抗则上式可变换为初级回路的自阻抗次级回路的自阻抗如果同名端改变，如图所示＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM＋－RLR1R2jωL2jωL1jωM两回路的KVL方程为：与同名端的标法无关，与同名端的标法有关。含空芯变压器的正弦稳态电路的分析方法：（1）利用反映阻抗的概念，通过初次级等效电路求解。（2）利用去耦等效求解。（3）利用戴维南等效电路求解。[例7-5]

求如图所示空芯变压器电路中的电流。j3Ωj2Ω＋－1Ω1Ωj2Ωab解法一：用反映阻抗的概念求解解法二：用去耦等效求解如果将原图中的a、b端相连，如图（a），因该连线上无电流流过,所以对原电路无影响。j3Ω＋－1Ω1Ωj2Ωbaj2Ω图（a）＋－1Ω1Ωj1Ωj0Ωj2Ω图（b）将a、b端相连后，其中的耦合电感就成为具有公共连接点的互感，其等效电路如图（b）。[例7-6]

求如图所示空芯变压器电路ab端的戴维南等效电路

。a＋－RLR1R2jωL2jωL1jωMb＋－R1R2＋－jωL1jωL2jωM（1）求开路电压(2)求戴维南等效阻抗R1R2＋－ZOjωMjωL1jωL2对初级和次级回路分别列KVL方程上式中为负载断开时，次级的自阻抗由方程组中的(1)式得将上式代入(2)式，有初级回路在次级回路的反映阻抗由上式可得等效阻抗为＋－Z0RL戴维南等效电路，如图所示

[例7-6]

电路如图所示，最大的功率？最大功率为多少?求负载RL为何值时，可获得R1L1＋－RLuSL2C1C2

Mi1i2解:R1L1＋－RLuSL2C1C2

Mi1i2根据最大功率传输条件知，当时，RL获得的功率最大,其最大功率为7-4理想变压器如果耦合电感元件满足①无损耗；②耦合系数K=1；③L1、L2均为无限大，且为常数，则元件的模型即为理想变压器理想变压器的符号

＋－u1u2i1i2＋－n:1理想变压器的参数7-4-1理想变压器的伏安关系在如图所示的电压、电流参考方向和同名端标示下，理想变压器的伏安关系为＋－u1u2i1i2＋－n:1理想变压器伏安关系的推导因为理想变压器K=1，所以一个线圈电流产生的磁通全部与另一个线圈相交链，即，则两线圈的总磁链和分别为在电压、电流关联参考方向下，在初、次级线圈上产生的感应电压分别为＋－u1u2i1i2＋－n:1根据耦合电感的伏安关系有因为所以有当时,有由理想变压器的伏安关系可得到如下结论：（1）理想变压器是电压、电流的线性变换器，除具有变压、变流的作用，同时也具有变阻的作用。它虽然采用了耦合电感的符号，但不代表任何电感和互感的作用。（2）在任意时刻，理想变压器吸收的瞬时功率所以它既不消耗能量，也不储存能量，只起能量传递的作用。是一种无损耗、无记忆的非动态元件。注意：理想变压器伏安关系中的正、负号与电压、电流参考方向和同名端的相对关系有关为了使用方便，使理想变压器伏安关系能用统一的表达式表示，可按如下方法选定电压、电流的参考方向：的参考方向均选定从同名端指向另一端；流入同名端，流出同名端，则理想变压器的伏安关系可统一为7-4-2理想变压器的阻抗变换＋－ab＋－NZ2n:1一、从次级到初级的阻抗变换

由上述关系，可得如图(b)所示等效电路＋－ab＋－Nn2Z2n:1结论：并接在理想变压器次级的阻抗可等效搬移到初级且阻抗增大了n2倍＋－ZL＋－＋－n:1如果Z2是负载，用ZL表示n2ZL＋－可得等效电路如图所示二、从初级到次级的阻抗变换

＋－＋－NZ1n:1＋－串接在初级回路中的Z1也可以搬移到次级,且阻抗减小了1/n2倍＋－＋－NZ1n:1＋－＋－＋－＋－Nn:1＋－利用变压器这一性质可很方便的求解次级回路的电流、电压和其最大功率输出。7-4-2含理想变压器的电路分析对含理想变压器电路的分析可以采用前述一般的电路分析方法，只是列写方程时要考虑到理想变压器的伏安关系；也可以采用阻抗变换法，通过阻抗在初、次级回路的搬移，使电路得到简化，以利于求解。[例7-7]电路如图(a)所示，求电压。10:1＋－25Ω1Ω＋－＋－解：此题可用阻抗变换法求解＋－n2×25Ω1Ω＋－＋－n2×25Ω1Ω＋－[例7-8]求如图(a)所示电路的输入电阻Ri

＋－i2u1N2R2＋－i3u2N3R3＋－N1n1:1i1n2:1u3解：在如图所示电压、电流参考方向下，有又因为所以有

根据输入电阻的定义＋－i2u1N2R2＋－i3u2N3R3＋－N1n1:1i1n2:1u3根据上式可得原电路的等效电路如图所示u1－＋i1＋－i2u1N2R2＋－i3u2N3R3＋－N1n1:1i1n2:1u3可见两个次级阻抗可一个一个地搬到初级去。

[例7-9]如图所示电路，已知ZL=16Ω，为使ZL获得最大功率，求理想变压器的匝数比。＋－Z1ZLn:1解：将ZL搬移到初级，其等效阻抗为n2

ZL。当n2ZL和Z1达到模匹配时，负载获得的功率最大。[例7-10]电路如图所示，已知求电流

R22:11＋－＋－＋－23R1解：用节点分析法，取节点3为参考节点，列节点方程辅助方程R22:11＋－＋－＋－23R17-5全耦合变压器全耦合变压器定义：如果耦合电感元件满足：①无损耗；②K=1，但L1、L2、M均不是无穷大，则为全耦合变压器。

其电路模型：可以采用耦合电感元件的模型来表征可以用含理想变压器的模型来表征。根据全耦合变压器的条件，借鉴前述理想变压器的分析过程，有由上式可以画出全耦合变压器的电路模型